最大公约数

最新推荐文章于 2022-02-03 09:00:00 发布

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本文介绍了数论中的基本概念，如公约数、最大公约数及合数的性质，并详细阐述了求解最大公约数的欧几里德算法及其扩展形式，包括算法的时间复杂度分析。

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公约数的性质

d|a且d|b,意味着d|(ax+by) 其中x,y为任意整数

最大公约数性质

gcd(an,bn)=n *gcd(a,b)

gcd(a*p,b)=gcd(a,b)// p为质数

合数的性质

任何一个合数可以写成质数幂的唯一形式

欧几里德算法

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

其时间复杂度与fib数有关系,如果b<F(k+1)则递归调用次数少于k次

欧几里德算法的扩展形式

gcd(a,b)=gcd(b,a-b) b>a-b

扩展形式利用了公约数的性质,其问题在于相减的过程中重复的迭代的次数有些多,可以再利用最大公约数的性质进行优化

算法

int gcd(int a,int b)
{
	if(a<b)
		return gcd(b,a);
	if(b==0)
		return a;
	if(isEven(a))
	{
		if(isEven(b))
			return gcd(a>>1,b>>1)<<1;// a/2,b/2  然后把2提取出来
		else
			return gcd(a>>1,b);	
	}
	else
	{
		if(isEven(b))
			return gcd(a,b>>1);
		else
			return gcd(b,a-b);
	}

}