UVa 107 The Cat in the Hat

【解题思路】

题意是一只大猫想要清扫房屋，然后自己懒得去干，正好自己随身携带的帽子里有小猫，就叫小猫替自己干活，小猫也不想干，就叫自己帽子的小小猫替自己干活。。。一直到最小的猫为止，这里题目认为最小的猫高度为1，其余都是大猫，因此会存在不工作的猫（高度大于1，且叫大猫），工作的猫（高度为1，且叫小猫）。题目给定第一只大猫的高度，工作的猫的数量，根据大猫的这种懒惰习性，最终不工作的大猫会有多少只，所有的猫高度总和为多少。

这里可以看到一个规律，每只大猫都有n只小猫（帽子里的），且n在输入后就固定了。我们可以仿照分层结构，给出答案，其中每层的数字代表猫的高度，都为一样，每层数字的个数就是n，比如初始的大猫高度为216，工作的猫数量有125只，结果如下：

=216

==36 36 36 36 36

===6 6 ... 6（这一层一共25只）

====1 1 1... 1（这一层一共125只）

可见这样的结构符合题目的输入要求，那么我们可以看出不工作的猫个数为1+5+25=31，高度总和为216*1+36*5+6*25+1*125=671

分析后不难发现，存在以下关系

(n+1)^k = 第一只猫的高度 && n ^ k = 工作的猫数量

即可得到关于k的方程

[（n+1）/n] ^ k = 第一只猫的高度 / 工作的猫数量

关键求解k即可

【代码】

#include	<stdio.h>
#include	<string.h>
#include	<math.h>

int GetSQ(int a, int b) { //求得a开b次方根的结果，结果向下取整
	double dx = pow((double)a, 1.0/(double)b);
	int ix = (int)dx;
	if (fabs(ix+1.0-dx) < 1e-12) //浮点数的误差纠正，如6.0可能会表示成5.9999999999999998，悲了个剧
		return ix+1;
	else
		return ix;
}


int main()
{
	int height, yNum; //分别代表第一只猫的高度、高度为1的猫的数量
	int n, k; //分别代表大猫帽子中可装下的小猫数量、记录满足方程[（n+1)/n]^k = height/yNum的最小k值 
	int nNum, sum; //分别代表不工作的猫数量、所有猫的高度总和

	while (scanf("%d %d", &height, &yNum) && (height || yNum)) {
		k = 1;
		int h = GetSQ(height, k);
		int m = GetSQ(yNum, k);

		if (height == 1 && yNum == 1) { //单独讨论，此时大猫的帽子没有小猫，大猫高度为1（也就是小猫了），只好自己工作啦
			printf("0 1\n");
			continue;
		}

		while (true) { //k逐步向上探索，找到满足方程[（n+1)/n]^k = height/yNum的最小k解
			double d1 = fabs( height-pow((double)h, (double)k));
			double d2 = fabs( yNum-pow((double)m, (double)k));

			if (d1 < 1e-12 && d2 < 1e-12 && m%(h-m) == 0)
				break;

			k ++;
			h = GetSQ(height, k);
			m = GetSQ(yNum, k);
		}
		n = m/(h-m); //求得每只大猫里帽子可装的小猫数量

		sum = 0;
		int power = 1;
		for (int i = 1; i <= k+1; i ++) { //求其总和
			sum = sum+height*power;
			height = height/(n+1);
			power = power*n;
		}

		if (n > 1) { //帽子里有多只小猫时，按照等比数列的规律计算不工作的猫个数
			nNum = (yNum-1)/(n-1);
			printf("%d %d\n", nNum, sum);
		}
		else if (n == 1) { //帽子里仅一只小猫时，k就代表了大猫个数
			printf("%d %d\n", k, sum);
		}
		else if (n == 0) { //帽子里无小猫，第一只猫高度还大于1时，就没猫工作啦
			printf("1 %d\n", sum);
		}
	}
	return 0;
}