统计学学习笔记-

四种抽样方法：

1.简单随机抽样（N个里面抽取n个单位），n个随机变量满足两点，这个样本叫做简单随机样本。

（1）n个随机变量和总体X有着相同的概率分布（x方分布，正态分布等）

（2）相互独立，不干扰。

样本具有随机性，因为概率分布要一致。那么均值、方差不同的总体样本。样本的函数也不一样。

记为g（x1，x2，x3，……，xn），叫做样本统计量，样本统计量也是随机变量。

统计量的概率分布叫做抽样分布

样本均值和比例满足正态分布，两个样本的均值之差满足 正态分布。样本方差满足x方分布，两个样本方差比的抽样分布满足F分布

 正态总体情形

在样本容量大于30的时候，样本均值的抽样分布可以用正态概率分布近似 

假定某一总体中具有某一特征的个体的比例为𝑷，从容量为𝑵 的总体中随机抽
取𝒏 个个体进行调查，具有某一特征的样本个体数为x，记样本比例为𝒑，则

由二项分布的原理和渐近分布的理论可知，
样本比例的抽样分布（大样本条件下）近似服从正态分布
 

2.系统抽样

3.分层随机抽样

4.整群抽样

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学习目的：有偏估计

原假设与备择假设

置信区间有关的知识点

参数估计

1.估计量：样本参数--估计总体参数的样本统计量叫做估计量

样本均值- 就是总体均值的估计量

2.估计值，得到样本数据可求出样本统计量的值。称为总体参数的估计值。如

 =168.1868cm。

3.点估计： 样本统计量的函数值作为参数来估计。

4.区间估计：用样本统计量构造一个置信区间，作为对参数的估计。

比如95%的把握保证，成年男子平均身高的区间估计为[ 155.54cm，179.42cm ]

 （1）无偏性(unbiasedness)​​​​​​​

 为位置参数的估计量，若E（）=，即估计量的期望就等于原参数

那么就记作无偏估计量，称具有无偏性。如果是有偏估计量

那么偏差量

偏差=（）- 

 

右边这个例子还不是很看得懂。

 

 （2）有效性

 

即为，谁的方差越小那么就越有效 。

所以说这个例子是什么意思？

 （3）一致性

样本容量增大，估计值越来越靠近被估计的参数

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一个例题

 例题已经学会（）

   （4）罗-克拉美不等式

如果有两个以上的无偏估计量，则称具有最小方差的估计量为最佳无偏 估计量。为检查估计量是否达到最佳无偏，可以用罗—克拉美不等式衡量。

不等式概念：

对于一个无偏估计量的方差D（）在一般的条件，其方差永远不会小于一个正数，这个正数是的D（）下限，它依赖于总体的概率密度函数和样本容量n 。

注：当 D（）等于不等式右端时，这时称为最佳无偏估计量。 

有个例题可以看一看

点估计常用方法：

 1.特征数法

 

2.最大似然法（Maximum Likelihood Estimate）

应用的前提是：总体分布形式已经知道了

  基本思想：让样本选择“总体”
例子：样本（ x1， x2 ，…，x6 ）来自于方差已知但均值未知的一个正态分布

 

区间估计

➢ 1.女孩的年龄18岁——点估计
➢ 2.女孩的年龄，八成可能性在16岁—20岁之间
女孩的年龄：被估参数

可信度：八成可能性

16岁-20岁之间：区间、范围
可信度：置信度/置信水平区间：置信区间

定义

 

区间估计：在一定置信度下求参数的置信区间（Confidence Interval）

 几点说明
➢ 通常α较小， 1-α 较大。1-α称为置信水平, 常取0.99，0.95

如何评价一个置信区间的好坏，评价置信区间好坏的标准

1.可靠性越大越好

2.精度：越小越好

1-α大，大，即参数θ的不确定性大，精度低
小，1-α小，可信度低

一般准则：在保证置信度的条件下尽可能提高精度

 置信区间是一个随机区间，一次抽样可能包括有θ，也可能没有

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分位数 

定义：设𝑿是随机变量，𝜶(𝟎 < 𝜶 < 𝟏)是任意给定的正数，若存在𝒙𝜶，使得𝑷{𝑿 ≥ 𝒙𝜶} = 𝜶，则称𝒙𝜶为𝑿(或它的概率分布)的𝜶上侧分位数(upper quantile)。

 

如何构造一个置信区间

枢轴量法