USACO1.5]回文质数 Prime Palindromes

最新推荐文章于 2025-05-21 21:48:52 发布

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本文介绍了一个算法问题，即在指定范围内找出所有既是质数又是回文数的整数。文章提供了两种不同的实现思路和对应的代码示例，并讨论了如何通过优化减少计算量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

因为151既是一个质数又是一个回文数(从左到右和从右到左是看一样的)，所以 151 是回文质数。

写一个程序来找出范围[a,b](5 <= a < b <= 100,000,000)( 一亿)间的所有回文质数;

输入输出格式

输入格式：

第 1 行: 二个整数 a 和 b .

输出格式：

输出一个回文质数的列表，一行一个。

输入输出样例

输入样例#1：

5 500

输出样例#1：

5
7
11
101
131
151
181
191
313
353
373
383
说明
                    Hint 1: Generate the palindromes and see if they are prime.
提示 1: 找出所有的回文数再判断它们是不是质数（素数）.
Hint 2: Generate palindromes by combining digits properly. You might need more than one of the loops like below.
提示 2: 要产生正确的回文数，你可能需要几个像下面这样的循环。
题目翻译来自NOCOW。
USACO Training Section 1.5
产生长度为5的回文数:
for (d1 = 1; d1 <= 9; d1+=2) {    // 只有奇数才会是素数
     for (d2 = 0; d2 <= 9; d2++) {
         for (d3 = 0; d3 <= 9; d3++) {
           palindrome = 10000*d1 + 1000*d2 +100*d3 + 10*d2 + d1;//(处理回文数...)
         }
     }
 }
 题意很简单，但是本蒟蒻是个死心眼，本来可以直接枚举回文数在判断的，可是蒟蒻就想用筛法把他写完（最后T拉一组），首先我们可以证明下偶数（大于二）为的回文数不可能是质数
//证明一下偶数位数的回文数都不是prime number(11除外)
//证明一下最难的8位数吧其他的同理
//设x=10000001i+1000010j+100100k+11000l(i为1-9的自然数,j,k,l为0-9的自然数)
//分解得x=11(909091i+90910j+9100k+1000l)
//又909091i+90910j+9100k+1000l>2
//∴11|x
//x必定为合数
//同理可得当回文数x的位数为偶数位时必有11|x当x/11>2时x必为合数
有啦这个性质就可以直接枚举奇数位的回文数
代码：
T啦一组的：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n;
bool ispri[100000050];
bool pd (int x)
{
    int a[25];
    int sum=0;
    while (x>0)
    {
        a[++sum]=x%10;
        x/=10;
    }
    for(int i=1;i<=sum;i++)
    {
        if(a[i]!=a[sum-i+1])
            return false ;
    }
    return true ;
}
int main()
{
int m;
scanf("%d%d",&m,&n);

for(int i=2;i<=n;i++)
{
    if(!ispri[i])
    for(int j=2*i;j<=n;j+=i)
    {
        ispri[j]=true ;
    }
}
if(m%2==0) m++;
if(n%2==0) n--;
for(int i=m;i<=n;i+=2)
{
 if(!ispri[i]&&pd(i))
 {
     printf("%d\n",i);
 }
}
return 0;
}
正解::
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<string>
#include<cmath>
using namespace std;
int l,r,a[100];
bool p[100000001];
void make()                   //开始想写筛法，不过后来一算时间不大够，就用了一般判断。不想看筛法自行略过
{
    p[1]=0;                  //把1标记为0
    int q=(int)sqrt(r);   //i循环到sqrt(r)
    for (int i=2;i<=q;i++)
        if (p[i])          //如果i是质数那么它所有的倍数标记为0.
            for (int j=2;j<=r/i;j++)           //2倍～r/i倍
                p[i*j]=0;        //标记
}
bool pd(int x)           //一般质数判断，不解释
{
    int q=(int)sqrt(x);
    for (int i=2;i<=q;i++)
        if (x%i==0)
            return 0;
    return 1;
}
void tab(int n,int t)
{
    if (t>(n+1)/2)                             //如果不回文的部分填完了
    {
        int s=0;                             //预备输出
        for (int i=1;i<=n/2;i++)           //把填的数扩展成回文数
            a[n-i+1]=a[i];
        for (int i=1;i<=n;i++)             //从数组转化为数
            s=s*10+a[i];
        if (s>r||s<l)                  //如果大了或小了就return（这你完全可以放在前面判断，效率更高）
            return;
        if (pd(s))                   //如果s是质数
            cout<<s<<endl;          //输出
    } 
    else
        for (int i=(t==1);i<=9;i+=(t==1)+1)              
                //如果是第一位那么从1到9循环，否则从0到9循环；如果是第一位那么每次加2（质数），否则每次加1
        {
            a[t]=i;              //记录
            tab(n,t+1);        //递归填下一位的数
        }
}
int main()
{
    cin>>l>>r;                          //读入l和r
    memset(p,1,sizeof(p));
//    make();                              //这里注释掉了
    for (int i=ceil(log10(l));i<=ceil(log10(r));i++)           //针对i～j区间的数进行产生，ceil(log10(r))是r的位数
        tab(i,1);                         //产生
}