两个有序数组中找第N个数

给定两个有序的数组，长度分别为m和n，求这两个数组中的第K个元素。 

 

问题分析：

 

1. 把 A 平均分为前后两个部分，前部分有 x 个元素，后部分有 n-x 个元素（由于 A 是有序的，所以后一部分的所有元素都大于前一部分）。A[x] 为 A 的后一部分中的第一个元素。

 

2. 同理把 B 也平均分成前后两个部分，前部分有 y 个元素，后部分有 m-y 个元素。B[y] 是 B 的后一部分中的第一个元素。

 

3. 由于两个数组都是被平均分割的，所以可以近似地认为 x = n/2, y = m/2。这里不妨设 A[x] <= B[y]（如果 A[x] > B[y] 处理过程和下面类似）：  

 

情况1:

 

由于在 A 中，A[x] 前面有 x 个元素，在 B 中，B[y] 前面有 y 个元素，并且又有 A[x] <= B[y]，那么，合并以后，A[x]前面原来那些元素必然也在B[y]前面。也就是说，B[y]前面至少会有 x + y 个元素，我们再规定如果 A, B 中有相同元素，则合并后 A 中的元素排在 B 前面，那么归并以后 A[x] 也会排在 B[y] 前面，于是，合并之后 B[y] 至少有 x+y+1 个元素。 

 

如果 k <= x+y+1，也就是说，合并后第 k 个元素必然落在 B[y] 前面。所以，原来在 B 数组中的后一部分（B[y]以及 B[y] 之后）那些元素都不可能包含我们要找到内容（第 k 大元素），所以我们可以把他们排除掉。这样就排除了 B 中一半的内容。  

情况2:

 

在 A 中，A[x] 及其后面有 n-x 个元素，除去 A[x] 之后有 n-x-1 个元素，B[y] 及其后面有 m-y 个元素。那么，由于 A[x] <= B[y]，所以合并起来之后，B[y] 后面那些元素必然也在 A[x] 后面，则合并后 A[x] 后面至少有(n-x-1) + (m-y) = (n+m)-(x+y+1) 个元素。 

 

如果 k > x+y+1，也就说，合并后第 k 大的元素必然落在 A[x] 后面。所以，原来在 A 数组中，第一部分（A[x]之前）以及 A[x] 都不可能包含我们要找的元素，所以我们可以把他们排除掉。这样就排除了 A 中一半的内容。  

 

总结：

 

综上所述，对于 k <= x+y+1 还是 k > x+y+1 我们都提出了解决的方案，并且每种方案都能把 A 或者 B 的规模减小一半。减小了一半之后，我们将其作为一个新的问题继续使用上面的算法处理，直到 A 或者 B 减小到足够小： 

1. A 没有了，这样只需要找出 B 中第 k 大的元素，也就是 B[k]。
2. B 没有了，同上结果就是 A[k]。
3. 
   

Java代码  

1. public class NumX {  
2.   
3.     private int[] a;  
4.     private int[] b;  
5.       
6.     public int find(int aLeft, int aRight, int bLeft, int bRight, int k) {  
7.         int aMid = (aLeft + aRight) / 2;  
8.         int bMid = (bLeft + bRight) / 2;  
9.           
10.         if (aLeft > aRight)  
11.             return b[bLeft+k-1];  
12.         if (bLeft > bRight)  
13.             return a[aLeft+k-1];  
14.           
15.         if (a[aMid] <= b[bMid]) {  
16.             if (k <= (aMid-aLeft) + (bMid-bLeft) + 1)  
17.                 return find(aLeft, aRight, bLeft, bMid-1, k);  
18.             else  
19.                 return find(aMid+1, aRight, bLeft, bRight, k-(aMid-aLeft)-1);  
20.         } else {  
21.             if (k <= (aMid-aLeft) + (bMid-bLeft) + 1)  
22.                 return find(aLeft, aMid-1, bLeft, bRight, k);  
23.             else  
24.                 return find(aLeft, aRight, bMid+1, bRight, k-(bMid-bLeft)-1);  
25.         }  
26.     }  
27.       
28.     public static void main(String[] args) {  
29.         NumX n = new NumX();  
30.         n.a = new int[] {1, 4, 6};  
31.         n.b = new int[] {5, 8, 9};  
32.         System.out.println(n.find(0, 2, 0, 2, 3));  
33.     }  
34. }  

 

 

原文地址：http://blog.youkuaiyun.com/linandixon/article/details/4647392