洛谷——失踪的7

博客介绍了如何处理Pascal数字中不使用数字7的情况,通过将首次出现的7改为6并后续全改为9的方法简化计算。给出了一段C++代码实现,并解释了代码逻辑,最后给出了完整的程序。

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题目:来源于洛谷
远古的Pascal人也使用阿拉伯数字来进行计数,但是他们又不喜欢使用7,因为他们认为7是一个不吉祥的数字,所以Pascal数字8其实表示的是自然数中的7,18表示的是自然数中的16。下面计算一下,在正整数n范围以内包含有多少个Pascal数字。

输入格式
第一行为正整数t,接下来t行,每行一个正整数n(≤2^32-1)。

输入的是Pascal数字

t≤10000

输出格式
对于每个正整数n,输出n以内的Pascal数的个数。

输入输出样例
输入 #1

2
10
20

输出 #1

9
18

分析:
题目的意思是:找出给定数,从1到这个数的 除去含7的数 以外,总共有几个数。例如30,从1到30,含7的个数有 7,17,27,那么除去含7的数后,还剩27个数。

那么问题来了,如果这个数是278,那么怎么来算呢?

首先我们可以把278拆分为:0-199,200-269,270-277,因为在前面填上0,和在后面去除278,所以总共的个数还是278个,计算出来的Pascal数是不变的。

0-199有几个Pascal数呢?

可以借助组合的思想,把0记作000,那么000-199,第一位数(百位)从0-1共有2种可能第二位数(十位)从0-9共有10种可能,不要7之后,共有9种可能第三位数(个位)从0-9同理共有9种可能,那么0-199共有2×9×9个Pascal数

200-269,第一位数(百位)从2-2共有1种可能第二位数(十位)从0-6共有7种可能第三位数(个位)从0-9共有9种可能,那么200-269共有1×7×9个Pascal数

而270-277,由于十位上的数是7,所以没有Pascal数

从上面的例子,我们可以发现,如果输入的数,在某一位上的数是7,那么我们是可以不用进行后序计算的,例子中的数是278,如果我换成270271272,…,279,那么它们这几个数的Pascal数 都等于 269 的Pascal数,那么我们是不是可以简化一下输入的数中的某一位含7的这种情况?

我们可以这样处理:从最高位开始,把首次出现7的那一位改为6,然后把后面的数字不管是多少,全都改为9,如例子中278,首次出现7的是在第二位上,那么把7改为6,然后将8改为9,经过这样操作之后,278就变成269,那我再举个例子,假如有这么一个数,6 700 278,把它改成6 699 999

下面是这一操作的代码

int len = s.length();
for (int i = 0; i < len; i++) {
			if ('7'==s[i]) {
				s[i] = '6';
				for (int j = i+1; j < len; j++) {		//把后面的每一位都变成9
					s[i] = '9';
				}
				break;		//及时跳出,节约点时间
			}
		}

完整代码如下:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>

using namespace std;	

int t;
string s;

int main()
{
	scanf("%d", &t);
	while (t--) {
		cin >> s;

		int len = s.length();

		//处理特殊情况
		for (int i = 0; i < len; i++) {
			if ('7'==s[i]) {
				s[i] = '6';
				for (int j = i+1; j < len; j++) {		//把后面的每一位都变成9
					s[i] = '9';
				}
				break;		//及时跳出,节约点时间
			}
		}

		int ans = 0;
		for (int i = len -1, flag=1; i >= 0; i--, flag*=9) {
			ans += flag * (s[i] - '0') - (s[i] - '0' > 7 ? flag : 0);
		}
		printf("%d\n", ans);
	}

	return 0;
}

参考题解:东北小蟹蟹的个人博客

(●ˇ∀ˇ●)

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