洛谷——失踪的7

博客介绍了如何处理Pascal数字中不使用数字7的情况,通过将首次出现的7改为6并后续全改为9的方法简化计算。给出了一段C++代码实现,并解释了代码逻辑,最后给出了完整的程序。

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题目:来源于洛谷
远古的Pascal人也使用阿拉伯数字来进行计数,但是他们又不喜欢使用7,因为他们认为7是一个不吉祥的数字,所以Pascal数字8其实表示的是自然数中的7,18表示的是自然数中的16。下面计算一下,在正整数n范围以内包含有多少个Pascal数字。

输入格式
第一行为正整数t,接下来t行,每行一个正整数n(≤2^32-1)。

输入的是Pascal数字

t≤10000

输出格式
对于每个正整数n,输出n以内的Pascal数的个数。

输入输出样例
输入 #1

2
10
20

输出 #1

9
18

分析:
题目的意思是:找出给定数,从1到这个数的 除去含7的数 以外,总共有几个数。例如30,从1到30,含7的个数有 7,17,27,那么除去含7的数后,还剩27个数。

那么问题来了,如果这个数是278,那么怎么来算呢?

首先我们可以把278拆分为:0-199,200-269,270-277,因为在前面填上0,和在后面去除278,所以总共的个数还是278个,计算出来的Pascal数是不变的。

0-199有几个Pascal数呢?

可以借助组合的思想,把0记作000,那么000-199,第一位数(百位)从0-1共有2种可能第二位数(十位)从0-9共有10种可能,不要7之后,共有9种可能第三位数(个位)从0-9同理共有9种可能,那么0-199共有2×9×9个Pascal数

200-269,第一位数(百位)从2-2共有1种可能第二位数(十位)从0-6共有7种可能第三位数(个位)从0-9共有9种可能,那么200-269共有1×7×9个Pascal数

而270-277,由于十位上的数是7,所以没有Pascal数

从上面的例子,我们可以发现,如果输入的数,在某一位上的数是7,那么我们是可以不用进行后序计算的,例子中的数是278,如果我换成270271272,…,279,那么它们这几个数的Pascal数 都等于 269 的Pascal数,那么我们是不是可以简化一下输入的数中的某一位含7的这种情况?

我们可以这样处理:从最高位开始,把首次出现7的那一位改为6,然后把后面的数字不管是多少,全都改为9,如例子中278,首次出现7的是在第二位上,那么把7改为6,然后将8改为9,经过这样操作之后,278就变成269,那我再举个例子,假如有这么一个数,6 700 278,把它改成6 699 999

下面是这一操作的代码

int len = s.length();
for (int i = 0; i < len; i++) {
			if ('7'==s[i]) {
				s[i] = '6';
				for (int j = i+1; j < len; j++) {		//把后面的每一位都变成9
					s[i] = '9';
				}
				break;		//及时跳出,节约点时间
			}
		}

完整代码如下:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>

using namespace std;	

int t;
string s;

int main()
{
	scanf("%d", &t);
	while (t--) {
		cin >> s;

		int len = s.length();

		//处理特殊情况
		for (int i = 0; i < len; i++) {
			if ('7'==s[i]) {
				s[i] = '6';
				for (int j = i+1; j < len; j++) {		//把后面的每一位都变成9
					s[i] = '9';
				}
				break;		//及时跳出,节约点时间
			}
		}

		int ans = 0;
		for (int i = len -1, flag=1; i >= 0; i--, flag*=9) {
			ans += flag * (s[i] - '0') - (s[i] - '0' > 7 ? flag : 0);
		}
		printf("%d\n", ans);
	}

	return 0;
}

参考题解:东北小蟹蟹的个人博客

(●ˇ∀ˇ●)

### 关于 P1746 离开中山路的 Python 解题思路 对于编号为P1746的题目《离开中山路》,该问题属于图论中的最短路径求解类问题。给定地图上的多个节点以及连接这些节点的道路长度,目标是从起点到终点找到一条总距离最小的路径[^1]。 #### 数据结构的选择 为了高效处理此类问题,可以采用邻接表来表示输入的地图数据。邻接表不仅节省空间而且便于快速访问相连边的信息。此外,在寻找最短路径过程中,优先队列(通常通过堆实现)能够帮助按照当前累计成本从小到大顺序遍历各个顶点[^2]。 #### Dijkstra算法的应用 针对本题特点——即不存在负权边的情况,Dijkstra算法是一个合适的选择。此方法从源结点出发逐步扩展已知区域直至覆盖整个网络;每次从未被收录进来的候选集中挑选具有最低估计代价者作为新的探索中心,并更新其相邻未访问过的邻居们的临时标记值直到抵达目的地为止[^3]。 下面是具体的Python代码实现: ```python import heapq def dijkstra(n, edges, start, end): graph = [[] for _ in range(n)] # 构建加权无向图的邻接列表形式 for u, v, w in edges: graph[u].append((v, w)) graph[v].append((u, w)) dist = [float('inf')] * n # 初始化所有节点的距离为无穷大 prev = [-1] * n # 记录前驱用于重建路径 pq = [(0, start)] # 将起始位置加入优先级队列并设初始距离为零 dist[start] = 0 while pq: d, node = heapq.heappop(pq) if node == end: # 提早终止条件:当到达终点时停止搜索 break if d > dist[node]: # 跳过已经找到了更优解的情形 continue for neighbor, weight in graph[node]: new_dist = d + weight if new_dist < dist[neighbor]: dist[neighbor] = new_dist prev[neighbor] = node heapq.heappush(pq, (new_dist, neighbor)) path = [] curr = end while curr != -1: path.append(curr) curr = prev[curr] return list(reversed(path)), dist[end] if __name__ == "__main__": N = ... # 输入城市数量N M = ... # 道路条数M roads = [...] # 所有道路信息[(A_i,B_i,C_i)...] S, T = ..., ... # 出发点S和目的地点T result_path, min_distance = dijkstra(N, roads, S-1, T-1) # 注意索引调整 print(f"The shortest distance is {min_distance}.") print("The optimal route:", " -> ".join(map(str,[i+1 for i in result_path]))) ```
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