编程之美 -- 2.7 最大公约数问题

题目描述

求解X 和 Y 的最大公约数f(x, y)

解法一：

使用辗转相除法，f(x, y) = f(y, x % y), x 和 y 数字偏大则取模运算偏多而开销大

解法二：相减法，f(x,y) = f(x-y,y) , (x > y)。 可以解决取模开销问题，但是相对减法则迭代次数偏多

解法三：结合以上两种优势，如果每次递归求解时

1、同为偶数，则f(x,y) = 2 * f(x, y)

2、x奇数y偶数，则f(x,y) = f(x>>1, y)

3、y奇数x偶数，则f(x,y) = f(x,y>>1)

4、同为奇数，则f(x, y) = f(x-y, y), x>y

package chapter_2_binary;

import java.util.Scanner;

/**
 * @author LiangGe
 *
 *	求解x和y的最大公约数
 *
 */
public class question_2_7_1 {
	
	/**
	 * @param x
	 * @param y
	 * @return 
	 * 
	 * 直接使用相除法
	 * 
	 */
	public static long gcd(long x, long y) {
		return (y == 0) ? x : gcd(y, x % y);
	}
	
	/**
	 * @param x
	 * @param y
	 * @return 
	 * x和y的最大公约数同时也是 x-y 和 y的最大公约数
	 * 使用相减法，可以避免数字很大时候的除法运算
	 *  
	 */
	public static long bigGcd(long x, long y) {
		if(x < y) {
			return bigGcd(y, x);
		} else if(y == 0) {
			return x;
		} else {
			// 迭代次数太多，如果10000000 1 则计算效率降低
			return bigGcd(x - y, y);
		}
	}
	
	/**
	 * @param x
	 * @param y
	 * @return
	 * 
	 * 结合以上两种方式的优势
	 * 根据x和y的奇偶性质，简化计算方式
	 * 
	 */
	public static long bigGcd2(long x, long y) {
		if(x < y) {
			return bigGcd2(y, x);
		} else if(y == 0) {
			return x;
		} else {
			if(x % 2 == 0) {
				if(y % 2 == 0) {
					// 如果x和y都是偶数，则gcd(x,y) = 2*(x/2,y/2)
					return 2 * bigGcd2(x>>1, y>>1);
				} else {
					return bigGcd2(x>>1, y);
				}
			} else {
				if(y % 2 == 0) {
					return bigGcd2(x, y>>1);
				} else {
					return bigGcd2(x - y, y);
				}
			}
		}
	}
	
	public static void main(String args[]) {
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		long num = scanner.nextLong();
		scanner.nextLine();

		while (num-- > 0) {
			long x = scanner.nextLong();
			long y = scanner.nextLong();
			
			System.out.println("(" + x + ", " + y + ") 最大公约数 = " + gcd(x, y));			
			System.out.println("(" + x + ", " + y + ") 最大公约数 = " + bigGcd(x, y));			
			System.out.println("(" + x + ", " + y + ") 最大公约数 = " + bigGcd2(x, y));			
		}
	}
}