AI损失函数：数学公式 + PyTorch API + 使用场景-优快云博客

L1 损失（平均绝对误差 MAE）

数学公式

单个样本：

$L_1(y,\hat y) = |y - \hat y|$

批次平均：

$\mathcal{L}_{MAE} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N |y_i - \hat y_i|$

PyTorch API

import torch
import torch.nn as nn

# 1. 类形式（推荐）
criterion = nn.L1Loss()
loss = criterion(pred, target)

# 2. 函数形式
loss = torch.nn.functional.l1_loss(pred, target)

使用场景

回归任务、数据含较多异常值/离群点（鲁棒性强）
图像去噪、超分、预测波动较大的连续值
缺点：梯度恒定，极值点处梯度不连续，收敛慢

L2 损失（均方误差 MSE）

数学公式

单个样本：

$L_2(y,\hat y) = (y - \hat y)^2$

批次平均：

$\mathcal{L}_{MSE} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (y_i - \hat y_i)^2$

PyTorch API

criterion = nn.MSELoss()
loss = criterion(pred, target)

# 函数形式
loss = torch.nn.functional.mse_loss(pred, target)

使用场景

标准回归任务（房价预测、流量预测、坐标回归）
误差越大惩罚越重，对离群点敏感
梯度平滑，收敛速度快

Smooth L1 损失（平滑L1）

结合 L1、L2 优点，广泛用于目标检测。

数学公式

$\text{SmoothL1}(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2}x^2, & |x| < 1 \\[4pt] |x| - \displaystyle \frac{1}{2}, & |x| \ge 1 \end{cases} \mathcal{L} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \text{SmoothL1}(y_i - \hat y_i)$

PyTorch API

criterion = nn.SmoothL1Loss()
loss = criterion(pred, target)

# 函数形式
loss = torch.nn.functional.smooth_l1_loss(pred, target)

使用场景

目标检测：边框回归（YOLO、Faster R-CNN）
误差小时用 MSE、误差大时用 L1，兼顾收敛与鲁棒性

二元交叉熵

BCE (Binary Cross Entropy)

数学公式

单个样本：

$\mathcal{L}_{BCE} = - \big[ y\log(\hat y) + (1-y)\log(1-\hat y) \big]$

$\hat y \in (0,1)$ （Sigmoid 输出）， $y\in{0,1}$

PyTorch API

# 输入：pred 经过 sigmoid，target 是 0/1 标签
criterion = nn.BCELoss()
loss = criterion(torch.sigmoid(pred), target)

# 函数形式
loss = torch.nn.functional.binary_cross_entropy(torch.sigmoid(pred), target)

使用场景

标准单标签二分类（正负样本区分）
图像二分类、判断是否存在目标、简单二分类任务

BCEWithLogitsLoss

（BCE + Sigmoid 合并）

内部集成 Sigmoid，数值更稳定。

数学公式

等价于先 Sigmoid 再 BCE：

输入线性调整后的数据 $z$

$\sigma(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}$

$\mathcal{L} = - \big[ y\log(\sigma(z)) + (1-y)\log(1-\sigma(z)) \big]$

PyTorch API

# 无需手动加 sigmoid！内部自带
criterion = nn.BCEWithLogitsLoss()
loss = criterion(pred_logits, target)  # pred_logits: 网络原始输出

使用场景

二分类首选（数值稳定性 > 手动 Sigmoid + BCELoss）
多标签分类、语义分割（逐像素二分类）、样本不均衡二分类
支持 pos_weight 解决正负样本不均衡

交叉熵损失 CrossEntropyLoss

多分类标准损失，CrossEntropyLoss = LogSoftmax + NLLLoss

$CrossEntropyLoss(z,y)=NLLLoss(LogSoftmax(z),y)$

数学公式

设模型原始输出 $z_i$ ，真实类别为 $y$ ：

$\hat p_{y_i} = \text{Softmax}(z_i )= \frac{e^{z_i}}{\sum_j e^{z_j}}$

$\mathcal{L}_{CE} = -\log(\hat p_{y_i})$

批次平均：

$\mathcal{L} = -\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \log(\hat p_{y_i})$

PyTorch API

# 输入：pred_logits(网络原始输出)，target(类别索引，shape=[N])
criterion = nn.CrossEntropyLoss()
loss = criterion(pred_logits, target)

使用场景

单标签多分类（图像分类、文本分类、手写数字识别）
网络最后一层不额外加 Softmax，函数内部自动计算

DiceLoss Dice损失（分割不均衡）

公式

$\text{DiceCoeff} = \frac{2|X\cap Y|}{|X|+|Y|},\quad \mathcal{L}=1-\text{DiceCoeff}$

PyTorch（无原生层，自定义）

class DiceLoss(nn.Module):
    def __init__(self, smooth=1):
        super().__init__()
        self.smooth = smooth
    def forward(self, pred, target):
        intersection = (pred * target).sum()
        union = pred.sum() + target.sum()
        dice = (2.*intersection + self.smooth)/(union + self.smooth)
        return 1 - dice