本文通过数学归纳法介绍如何理解递归，从递归求和、阶乘计算、斐波那契数列到解决汉诺塔问题，详细解释了递归的四个关键步骤，并提供了具体的代码实现，帮助读者掌握递归思想。
我们在使用递归的时候需要满足一些基本条件，如果不满足的话，就有可能出现无限递归，最后会导致堆栈溢出了。
满足条件：
-
严格定义递归函数作用，包括参数，返回值，其他变量。
-
先一般情况，后特殊情况。
-
有退出条件。在一般情况下，能让递归正常退出的条件。
-
每次调用必须缩小问题规模，且新问题与原问题有着相同的形式，即规律。
上面的条件一环扣一环，也可以缩减成两个主要条件：有规律,有退出条件。我们以上面的条件，来结合案例进行理解。
[](()2.3 小栗子
[](()2.3.1 递归求和
例题：
1+2+3+…+n=?
第一步： 严格定义递归函数作用，包括参数，返回值，其他变量。
我们初看题目，可以知道这是一个简单的求和，即从1开始：1+2+3+…一直加到n。所以我们可以定义一个入参为n,返回值类型为int的一个方法，既然是递归求和，我们的方法名就叫recursionSum。
public static int recursionSum(int n) { //为了方便调用，我用了static
return 0;
}
System.out.println(“公众号：Coder编程：” + recursionSum(0));
那么我们第一步就做完了。
第二步： 先一般情况，后特殊情况。
我们先用一般的情况进行求和计算，例如代入1,2,3这样的一般情况。即：
public static int recursionSum(int n) {
if(n == 1) {
return 1;
}
if(n == 2) {
return 1+2;
}
if(n == 3) {
return 1+2+3;
}
return 0;
}
System.out.println(“公众号：Coder编程：” + recursionSum(3));
第三步： 有退出条件。在一般情况下，能让递归正常退出的条件。
其实，我们做完第二步，就会发现已经把第三步做完了。即有了让递归正常退出的条件！
第四步： 每次调用必须缩小问题规模，且新问题与原问题有着相同的形式，即规律。
这一步是最关键的，也是最核心的！我们需要找到其规律，并且能缩小问题的规模。我们会发现，当我们需要求第N个数的和的时候，我们必须知道前N-1个数的和，即 sum(N-1)。前N个数的和就是sum(N-1)+N。找到这个规律后，我们就可以定义一个临时变量sum来接收前N个数的和了。
public static int recursionSum(int n) {
if(n == 1) {
return 1;
}
if(n == 2) {
return 1+2;
}
if(n == 3) {
return 1+2+3;
}
int sum = recursionSum(n-1)+n;
return sum;
}
System.out.println(“公众号：Coder编程：前5个数的和” + recursionSum(5));
输出结果：15
我们优化一下：
public static int recursionSum(int n) {
if (n < 0){
throw new Exception(“参数不能为负！”);
}
if(n == 1) {
return 1;
}
return recursionSum(n-1)+n;
}
System.out.println(“公众号：Coder编程：前5个数的和” + recursionSum(5));
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是不是突然发现递归其实也没想的那么难？
[](()2.3.2 举一反三？
接下来我们难度进行升级！看大家能不能都理解了。我就不像上面求和那么啰嗦了！
[](()2.3.2.1 求阶乘
例题：求n的阶乘（n>1，n是正整数）
阶乘的递推公式为：factorial(n)=n*factorial(n-1)，其中n为非负整数,且0!=1,1!=1
这里就不做过多说明，跟求后过程一致，可以模仿求和的过程，大家可以先自己尝试写下，下面我直接贴代码了：
public static int factorial(int n) throws Exception {
if (n < 0){
throw new Exception(“参数不能为负！”);
}else if (n == 1 || n == 0) {
return 1;
}else {
return n * factorial(n - 1);
}
}
System.out.println(“公众号：Coder编程：3的阶乘:” + factorial(3));
输出结果： 公众号：Coder编程：3的阶乘:6
[](()2.3.2.2 斐波那契数列
斐波那契数列 我想大家同样熟悉了解，下面我们继续回顾一下斐波那契数列到底是什么？
斐波那契数列: 1、1、2、3、5、8、13、21…
可以看出从第三位起：第三项等于前两项之和。总结递推公式：:Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2)。所以我们可以将前两位作为退出递归的条件。即：if(n==1) retrun 1 if(n==2) return 1
因此我们可以直接用公式（规律）和退出条件，写出编程代码：
public static int fib(int n) throws Exception {
if (n < 0) {
throw new Exception(“参数不能为负！”);
}else if (n == 0 || n == 1){
return n;
}else {
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
}
System.out.println(“公众号：Coder编程：斐波那契数列:” + fib(3));
[](()2.3.2.3 汉诺塔问题
相传在古印度圣庙中，有一种被称为汉诺塔(Hanoi)的游戏。该游戏是在一块铜板装置上，有三根杆(编号A、B、C)，在A杆自下而上、由大到小按顺序放置不同个数的金盘(如下图)。
游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并仍保持原有顺序叠好。
操作规则：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上。
在总结规律和写代码之前，我们先来玩几把简单的（先一般后特殊）：
注：我们以数字的大小作为盘子的大小。
- 一个盘子的情况：
1.1 将A柱子的1号盘子直接移动到C柱子中。
1.2 结束。
- 两个盘子的情况：
2.1 将A柱子的1号盘子移动到B柱子。
2.2 将A柱子的2号盘子移动到C柱子。
2.3 将B柱子的1号盘子移动到C柱子。
2.4 结束。
- 三个盘子的情况：
3.1 将A柱子的1号盘子移动到C柱子。
3.2 将A柱子的2号盘子移动到B柱子。
3.3 将C柱子的1号盘子移动到B柱子。
3.4 将A柱子的3号盘子移动到C柱子。
3.5 将B柱子的1号盘子移动到A柱子。
3.6 将B柱子的2号盘子移动到C柱子。
3.7 将A柱子的1号盘子移动到C柱子。
3.8 结束。
我们会发现，随着盘子数量的增加，盘子移动的难度也开始加大。
这时候不要害怕，我们回过头再来看这个问题：当盘子的数量是4个、5个…N个的时候，我们该如何解决呢？我们是不是可以用数学归纳法的思想或者递归的思想去解决呢？答案是：肯定的。这时候我们需要去找到他们的规律在哪？
我们再观察下上面在一般情况下移动盘子的规律在哪？
-
1.当只有一个盘子的时候，可以将盘子直接移动到目标柱子C中。即
退出条件。 -
2.当只有两个盘子的时候，我们只需要将B柱子作为中介，将盘子1先放到中介柱子B上，然后将盘子2放到目标柱子C上，最后将中介柱子B上的盘子放到目标柱子C上即可。
第二点可以看成：当我们有N个盘子的时候，第N个盘子看成一个盘子，(N-1)个盘子看做成一个盘子。需要将(N-1)个盘子放在中介柱子B上，N个盘子放在目标柱子C即可。即规律。
当我们有三个盘子的时候，我们会发现一个问题： 角色变化
-
将A塔座的第(N-1)~1个盘子看成是一个盘子，放到中柱子B上，然后将第N个盘子放到目标柱子C上。这时候
柱子A空了!柱子A成为中介柱子，柱子B成为起始柱子。 -
柱子B这时候有N-1个盘子，将第(N-2)~1个盘子看成是一个盘子，放到中介柱子A上，然后将柱子B的第(N-1)号盘子放到目标柱子C上。这时候
柱子B空了!柱子B又成为了中介柱子，A成为了起始柱子!
重复1、2步骤，直到所有盘子都放到目标塔座C上结束。
总结一下：
-
从初始柱子A上移动包含n-1个盘子到中介柱子B上。
-
将初始柱子A上剩余的一个盘子（最大的一个盘子）放到目标柱子C上。
-
将中介柱子B上n-1个盘子移动到目标柱子C上。
move(3,“A”,“B”,“C”);
/**
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汉诺塔问题
-
@param dish 盘子个数(也表示名称)
-
@param from 初始柱子
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