GalaxyOJ-558 (DP)

题目

Problem Description

• 有一群有着不一样ID的人站成了一排。如果某个人他的前面或者后面的人的ID比他大，那么他是开心的。
• 比如，一行里面有5个人，他们的ID分别为1,3,2,5,4，这时候ID是1,2,4的人是开心的，ID是3,5的人是不开心的。
• 这里一共有n!种不同的方式去产生n个人的排列，你需要解决q个询问，每个询问包含n和k，你需要求n个数的排列里至少有k个开心的人的排列数，由于答案可能很大，所以要将答案对10^9+7取模。

Input

第一行一个整数q，代表询问的组数。
接下来q行每行两个整数n和k。

1<=q<=100
1<=n<=3000
1<=k<=n

Output

对于每个询问，一行输出n个数的排列里至少有k个开心的人的方案数，对10^9+7取模。

Sample Input

3
3 2
4 3
10 7

Sample Output

4
8
1433856

Hint

对于样例1，n=3,k=2时符合的方案为{1,2,3}{1,3,2}{2,3,1},{3,2,1}.

分析

• 题目中要求至少有k个开心的人，我们可以转换为至多有n-k个不开心的人，于是就变成问对于1到n这n个数，有几种排列使得至多有n-k个数，它左右的数都比他小（可以把它想象为一个山峰）。
• 于是可以用dp来做，由[1,i-1]这些数满足的排列数推出[1,i]满足的排列数。
• 每次是多了一个数，且它是最高的（即不管放到哪都会产生一个山峰），在分两类
  
  • 加了这个数山峰数不变，那么它就肯定加在某个原有山峰的旁边（相邻处）。
  • 加了这个数山峰数多了1，那么它肯定不能加在原有山峰的旁边。
• 于是就有了dp方程

dp[i,j]=        //代表 1~i 满足有 j 个山峰的排列数
dp[i-1,j]*j*2       //加了i山峰数不变
+dp[i-1,j-1]*(i-(j-1)*2)    //加了i山峰数多了1

• 最后求出 $\sum^{n-k}_{i=1} dp[n][i]$ 即可

程序

#include <cstdio>
#define Ha 1000000007
int n,k,q;
long long dp[3005][3005],ans;

int main(){
    dp[1][1]=1;
    for (int i=2; i<=3000; i++)
        for (int j=1,kk=((i%2==0) ? i/2 : i/2+1); j<=kk; j++)
            dp[i][j]=(dp[i-1][j]*j*2+dp[i-1][j-1]*(i-(j-1)*2))%Ha;
    for (q=(scanf("%d",&q),q); q; q--,ans=0){
        scanf("%d%d",&n,&k);
        for (int i=1; i<=n-k; i++) ans=(ans+dp[n][i])%Ha;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

提示

• 做dp题的时候，遇到“至少”的条件时，可以考虑将其转换为“至多”来做，可能更直观一些。（其实用至少来做也行，这道题也是一样，不过要稍微绕一下，没这么好写）