HDU 3507 Print Article（DP斜率优化）

最新推荐文章于 2021-03-16 21:24:00 发布

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#斜率优化 #DP

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本文介绍了一种使用斜率DP算法解决特定问题的方法。通过分析如何将一系列数值划分成若干区间，并使得各区间贡献和最小，进而求解整体最优解。文章详细阐述了斜率DP的实现过程及代码示例。

题目链接

题意

将n个数任意划分成若干区间，每个区间贡献为，区间内权值和的平方+m，求最小的贡献和是多少。

思路

斜率DP入门题。
设 $d p [前 i 个最小贡献]$ ， $p r e [前 i 个元素前缀和]$ 快速求区间和用
最简单的DP思路， $\sum_{j=1}^{i-1}min(dp[j]+(pre[i]-pre[j])^2+m)$ ， $O(n^2)$ 显然超时。

设 $k 1 > k 2$ ，在 $k 1$ 处转移比 $k 2$ 处转移更优

得 $dp[k1]+(pre[i]-pre[k1])^2+m>dp[k2]+(pre[i]-pre[k2])^2+m$

化简移项 $\frac{dp[k1]+pre[k1]^2-dp[k2]-pre[k2]^2}{pre[k1]-pre[k2]}<2pre[i]$

写不动了下面简略写。具体学习链接
维护一个下凸的斜率，由于 $p r e [i]$ 单调增，斜率只要留一个小于当前更新到的 $2 * p r e [i]$ 即可

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long


ll read(ll &_a){return scanf("%lld",&_a);}
ll rd(){ll _tmp; scanf("%lld",&_tmp); return _tmp;}

ll pre[500005], dp[500005], que[500005];

ll getd(ll i, ll j, ll ii, ll jj)
{
    return (dp[i]+pre[i]*pre[i]-dp[j]-pre[j]*pre[j])*(pre[ii]-pre[jj]) >= (dp[ii]+pre[ii]*pre[ii]-dp[jj]-pre[jj]*pre[jj])*(pre[i]-pre[j]);
}

ll getd(ll i, ll j, ll num)
{
    return (dp[j]+pre[j]*pre[j]-dp[i]-pre[i]*pre[i]) <= num*(pre[j]-pre[i]);
}

int main()
{
    ll n, m;
    while(~scanf("%lld%lld",&n,&m))
    {
        ll head = 0, tail = 0;
        que[0] = 0;
        // 初始插个斜率为0的进去，使转移方程可以从头开始
        for(ll i = 1; i <= n; ++i)
        {
            read(pre[i]), pre[i] += pre[i-1];
            ll k1 = que[head], k2 = que[head+1];
            while(head < tail && getd(k1,k2,pre[i]*2ll) ) ++head, k1 = que[head], k2 = que[head+1];
            dp[i] = dp[k1]+(pre[i]-pre[k1])*(pre[i]-pre[k1])+m;
            while(head < tail && getd(que[tail],que[tail-1],i,que[tail]) ) --tail;
            que[++tail] = i;
        }
        printf("%lld\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}