莫比乌斯反演入门

https://www.cnblogs.com/chenyang920/p/4811995.html

我们先令 S,X 都表示集合 比如 S={a,b,c} X={b} 等 并令|S|表示 S中元素的个数

接着定义 集合上的函数 F(S) 为F(S)=|S|

然后再定义 G(S)=sigma(F(X)) (其中X是S的子集) {这里也是一种包含关系，集合的包含！！}

举个例子:
S={a,b,c}
子集包括{a,b,c}=3，{a,b}=2，{a,c}=2，{b,c}=2，{a}=1，{b}=1，{c}=1，一共12个元素。
因此G(S)=F(X1)+F(X2)+…F(X7)=12

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但是莫比乌斯反演的意思是，我们不知道F(S)，想通过G(S) 来得到 F(S)

这个问题相对于例1就复杂多了，但实际上我们已经有现成的关于集合包含的莫比乌斯反演公式了 :)

F(S)=sigma((-1)^(|S|-|X|) * G(X)) (其中X是S的子集)

是不是感觉有点神奇？

大家可以自己写个程序来验证一下。

下面就是我的验证程序：

我定义F(S)=|S|， 然后先 计算出 F(S) ,接着 计算出 G(S) , 然后 比较由G(S)反演得到的 F(S)和 |S| 的大小

正确性用程序证明的：

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

#define base 3
#define REP(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
int F[1<<base],G[1<<base];
// 集合用二进制表示 base表示集合最多10个元素
//1表示有数，0表示没数 

int Cal(int x){ // 计算 |x|
    int sum=0;
    while(x) 
        sum+=(x&1),x/=2;
    return sum;
}

int main(){
    REP(S,1<<base) //一共十个数，用二进制的十位表示 
    {
        F[S]=Cal(S); // 计算出最开始的F(S)
    }
    //计算出不同的数字对应的集合中的元素个数 

    REP(S,1<<base){   // 计算G(S)
        G[S]=0;
        cout<<"-----"<<endl;
        for(int X=S;X;X=(X-1)&S) ///////////////
        {
            cout<<X<<","<<F[X]; 
            cout<<endl;
            G[S]+=F[X];//用X遍历S集合
        }
        cout<<"G["<<S<<']'<<":"<<G[S]<<endl;

    }

    REP(S,1<<base){     // 计算反演的 F(S)
        F[S]=0;
        for(int X=S;X;X=(X-1)&S)
            F[S]+=(int)pow(-1,Cal(S)-Cal(X))*G[X];
    }
    bool flag=1;    // 验证一下
    REP(S,1<<base)
        if(F[S]!=Cal(S)) flag=0;
    if(flag) cout<<"YES"<<endl;
    else cout<<"NO"<<endl;
}

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