【NOIP2012】洛谷1082 同余方程 扩展欧几里得详解

题目描述

求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。 输入输出格式 输入格式：

输入:
只有一行，包含两个正整数 a, b，用一个空格隔开。
输出：
输出只有一行，包含一个正整数 x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

题解：
首先是齐次方程ax+by=0的通解为:
x=-b * t/gcd(a,b);
y=a * t/gcd(a,b)；
t为整数;
至于为什么要除以gcd，在于找最小因子，a和b不一定互质。

那么对于非齐次方程ax+by=gcd(a,b)的解为：
x=x0-b * t/gcd(a,b),
y=y0+a * t/gcd(a,b);
一个显而易见的表达是：a*( x0-b * t/gcd(a,b))+b * (y0+a * t/gcd(a,b))=a * x0+b *y0;

因此一旦我们求出特解，那么通解为:
x=x0-b * t/gcd(a,b),
y=y0+a * t/gcd(a,b);（重复了一下哈）

举个例子：
3 * x+7 * y=1,求x的最小整数解；
答案为x=5,y=-2;
但是 我们直接用扩展欧几里得，得出结果为：x=-2,y=1;
因此通解为:
x=-2+7*t
也就是x是-2关于7的余数，其中找一个最小正整数。即(-2)%7限制在min(-2,-7)到0之内，((-2%7)+7)%7;
注意：一个的余数还是负数。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define L long long
void ex_gcd(L a,L b,L &x,L &y)
{
    if (b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    ex_gcd(b,a%b,x,y);
    L tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-(a/b)*y;
}
int main()
{
    L a,b,x,y;
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    ex_gcd(a,b,x,y);
    printf("%lld\n",(x%b+b)%b);
}

习题NOIP2012Day2T1