leetcode 633.平方数之和（双指针详解）

题目：
给定一个非负整数 c ，你要判断是否存在两个整数 a 和 b，使得 a2 + b2 = c

示例 1：
输入：c = 5
输出：true
解释：1 * 1 + 2 * 2 = 5

示例 2：
输入：c = 3
输出：false

示例 3：
输入：c = 4
输出：true

示例 4：
输入：c = 2
输出：true

示例 5：
输入：c = 1
输出：true

提示：
0 <= c <= 2的31次幂减1

暴力破解

思路：
首先，我们分析下题目，如果想要找到两个数的平方和等于给定的c的值；我们可以想到以下条件：
如果符合条件的a，b存在，那么a和b这两个数一定在0和sqrt©之间
最简单的也是最容易想到的思路：暴力破解–
对于两层范围在[0,sqrt©]的for循环，如果找到ii+jj的值与给定的c相等，那么返回true，否则返回false。
但是，对于给定的数字规模2的31次幂-1这样大的数字，这样没有技术含量的算法是一定会超时的，代码和结果如下给出：

class Solution {
    public boolean judgeSquareSum(int c) {
        int tar = (int)Math.sqrt((double)c);
        for(int i=0;i<=tar;i++) {
            for(int j = 0;j<=tar;j++) {
                if(i*i+j*j == c) {
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }
}

暴力破解凉了，现在我们需要再想一个更好的方法：
由于c是由两个动态的数字平方和组成的，我们可以尝试双指针方法

双指针

由于双指针只需要一次遍历，一边来说是不会超时的。
先贴出代码，下面详细讲一下双指针的问题：

class Solution {
    public boolean judgeSquareSum(int c) {
        int low = 0;
        int high = (int)Math.sqrt(c); 
        while(low <= high){
            int sum = low*low+ high*high;
            if(sum == c) {
                return true;
            }
            else if(sum > c) {
                high--;//下面会讲
            }
            else {
                low++;//下面会讲
            }
        }
        return false;
    }
}

结果：

但是，为什么双指针不会把正确答案排除在外呢？我认为这才是我们应该考虑的问题；接下来写出双指针的变化过程
首先，定义两个指针；第一个假定为i，初始指向 i = 0（从最开始考虑）
然后，第二个定为j，初始指向 j = （int）sqrt（c）;
二者开始同时移动
判定条件1.如果满足(axa+bxb<c)这样的条件下，显然，在a固定的情况下和无论如何变化b值都不会满足当前的条件，由此，a=0一定不在正确答案中，所以可以直接排除。
判定条件2.反之，if(axa+bxb>c)，在b固定的情况下，当前所有能变化的a值，都不会满足条件 == c，因此，当前的b也一定不在正确答案中。
综上所述，因为在算法运行过程中不会排除掉正确答案，我们可以采用双指针法进行求解。
上面这段话虽然说明白了，但是大家可能没看明白；
我认为还是用图来讲更易理解一点~
因此我找了很多题解，认为下面这篇最容易理解：
https://leetcode-cn.com/problems/sum-of-square-numbers/solution/shuang-zhi-zhen-de-ben-zhi-er-wei-ju-zhe-ebn3/
下面讲解这个题解的思想：
把整个双指针搜索的过程可以看作一个在二维矩阵中搜索的过程，如下：

c = 18，初始化得到i = 0，j = 4；其中每个元素代表ixi加上jxj的值，黄色格子代表当前的ixi+jxj的值，绿色格子代表给定c的值
low++的操作相当于让黄色格子向下移一行进行搜索，high–的操作相当于让黄色格子所在列向左移一列进行搜索
在每次查找的过程中，都存在以下性质：
1.初始化时黄色格子(sqrt（c）的值)必定在矩阵的右上角。
2.每次进行low++或者high–的操作如果没取得 ixi+jxj == c的值，那么一定可以排除一行或一列

借用大佬的图方便大家理解↓：

由于搜索的行为会使黄色格子的右侧和上侧所有格子逐渐被排除，因此黄色格子在被搜索的过程中仅存在两种可能性：
1.搜索小于c的情况 ：左边的元素都小于黄色格子元素，只能下移，相当于low++。此时排除的是黄色格子以及左边同行的元素，都小于 c ，所以不会错过正确答案。
2.搜索大于c的情况：下面的元素都大于黄色格子元素，只能左移，相当于high–。此时排除的是黄色格子以及下方同列的元素，都大于 c ，所以不会错过正确答案。
综上所述，使用双指针不会错过正确答案~

特殊解法：数学

引入费马平方和定理这一概念，概念告诉我们：

一个非负整数 c 如果能够表示为两个整数的平方和，当且仅当 c 的所有形如 4k + 3 的质因子的幂均为偶数。

因此对 c 进行质因数分解，再判断所有形如 4k + 3 的质因子的幂是否均为偶数即可
这里不详细讲解，有兴趣的同学可以自己去查~