2013编程之美资格赛【长方形】

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本博客讨论了在一个由水平线与竖直线构成的网格中，如何通过摆放一定数量的石子形成最多数量的四边平行于坐标轴的长方形。通过组合数学的方法解决此问题，并提供了一个实现解决方案。

时间限制: 1000ms 内存限制: 256MB

描述
在 N 条水平线与 M 条竖直线构成的网格中，放 K 枚石子，每个石子都只能放在网格的交叉点上。问在最优的摆放方式下，最多能找到多少四边平行于坐标轴的长方形，它的四个角上都恰好放着一枚石子。

输入
输入文件包含多组测试数据。

第一行，给出一个整数T，为数据组数。接下来依次给出每组测试数据。

每组数据为三个用空格隔开的整数 N，M，K。

输出
对于每组测试数据，输出一行"Case #X: Y"，其中X表示测试数据编号，Y表示最多能找到的符合条件的长方形数量。所有数据按读入顺序从1开始编号。

数据范围
1 ≤ T ≤ 100

0 ≤ K ≤ N * M

小数据：0 < N, M ≤ 30

大数据：0 < N, M ≤ 30000

样例输入
3
3 3 8
4 5 13
7 14 86
样例输出
Case #1: 5
Case #2: 18
Case #3: 1398

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <fstream>
using namespace std;
typedef long long LL;
int main()
{
        int T,x;
        while(scanf("%d",&T)==1)
        {
                for(x=1;x<=T;x++)
                {
                        LL N,M,K;
                        scanf("%lld%lld%lld",&N,&M,&K);
                        if(N>M)//让M大于N
                        {
                                N=M+N;
                                M=N-M;
                                N=N-M;
                        }
                        int n=sqrt(K)>N?N:sqrt(K);
                        int m=M;
                        while(n * m>K)
                                m--;
                        LL ans=0;
                        LL res=0;
                        while(n>=2&&m<=M)
                        {
                                LL k=K;
                                res += (n*m*(n-1)*(m-1))>>2 ;
                                k -= m*n;
                                if(m < M)
                                        res+=(m*k*(k-1))>>1;
                                else
                                        res+=(n*k*(k-1))>>1;
                                ans=res>ans?res:ans;
                                res=0;
                                n --;
                                m=K/n;
                        }
                        printf("Case #%d: %lld\n",x,ans);
                }
        }
        return 0;
}

需要用到组合数学，还是破费了一番周折。思路就是先找到在网格中最大能形成的长方形矩阵的长x和宽y，算出剩余石子l，根据公式xy（x-1）（y-1）/4算出最大长方形矩阵可形成的长方形数量（正方形也属于长方形），再算出最长边加入剩余石子后可形成的长方形数量x * （l * （l-1）/2），他们的和即为结果。