KMP算法

最近在学习KMP算法，现在记录下来，一方面是作为学习的总结，一方面加深自己的理解。

首先从问题出发，因为算法都是为了解决问题嘛。

问题描述：

有两个串 s 和 t , 子串 t 的定位就是要在主串 s 中找到一个与子串 t 相等的子串。

问题分析：

首先扯一些概念，我们把主串 s 成为目标串，把子串 t 称为模式串，而这个问题就是经典的模式匹配问题。

OK，切入正题，看到问题，第一个想法就是遍历嘛，从主串 s 的第一个字符开始，跟子串 t 中的字符一一比对，相等的话，就继续比对，

不相等的话，就从主串 s 的第二个字符开始，继续和子串 t 中的字符一一比对，如此循环，一直到在主串 s 中找到匹配串，或者到 主串 s 遍历

完。而这就是BF（Brute-Force）算法，这算法存在一个效率问题，就是主串的遍历存在大量的回溯，

例如：假设 s = "abcabdabcabcd" ,t = "abcabcd", 那么匹配过程如下：

第一次比对：

a  b  c  a  b  d  a  b  c  a  b  c  d

|    |   |   |    |   |  

a  b  c  a  b  c  d

第二次比对：

a  b  c  a  b  d  a  b  c  a  b  c  d

     |  

_ a  b  c  a  b  c  d

如上，一直匹配到主串 s 的第 6 个字符才失败，而第二次比对就又回溯到主串 s 的第 2 个字符重新开始匹配。

那么，有没有什么方法可以减少这种回溯呢？

还是分析上面那个例子，子串一直匹配到 ‘c’ ,即 “abcabc”，除了最后一个字符 ‘c’ 与主串 s 不匹配，前面的子串 “abcab” 都是和主串 s 匹配

的，那么下一次比对，我们就可以直接从主串中的下一个字符 ‘a’ 开始，也就是从 “abcabc” 中的从左向右数的第二个字符 'a' 开始，（因为在这

之前的比对肯定都是匹配失败的），如果从第二个字符 'a' 开始，往右的每个字符，一直到 最后一个字符 ‘c’ 的前一个字符为止，都能和子串从第

一个字符 ‘a’ 开始的字符一一匹配，那么下一次匹配就能直接从第二个字符 'a' 开始匹配了。

以上就是KMP算法的核心内容，整体思路就是从子串 t 下手，想方设法的减少对主串 s 的回溯，方法就是寻找子串 t 的某种规则，规则如下：

假设子串 t = "t0 t1 t2 t3 ... tn",，对于 t 中的任意字符tj, 找到这样一个整数k, 0<=k<j,使得 t0 t1 t2 ... tk = tk-1 tk tk+1... tj-1,而匹配子串 tk-1 tk tk+1... tj-1

必须是符合条件的最大匹配子串。这样，就可以利用这个最大匹配子串来尽量减少匹配过程中的回溯。

我们用一个数组next[] ,封装子串 t 中的每一个字符对应的最大匹配子串，并规定next[0] = -1, next[1] = 0,从next[2]开始，数组元素的值等于其

对应的最大匹配子串的字符数，还是分析上例， 子串 t = "abcabcd",那么next[] = {-1, 0, 0, 0, 1, 2, 3},这样就可以利用数组next[] 去减少回溯，

今天就写到这，下次再写吧。