三个人决斗的问题解答

三个人决斗的问题解答 -- 100%原创 (2010-08-31 16:35:04)转载▼
标签： 三个小伙子 同时 爱上 空枪 命中率 几率 可能性 李小黄 教育 分类： 智力思考科普知识～教育篇
三个小伙子同时爱上了一个姑娘，为了决定他们谁能娶这个姑娘，他们决定用手-枪进行一次决斗。小李的命中率是30％，小黄比他好些，命中率是50％， 最出色的枪手是小林，他从不失误，命中率是100％。由于这个显而易见的事实，为公平起见，他们决定按这样的顺序：小李先开枪，小黄第二，小林最后。然后 这样循环，直到他们只剩下一个人。那么这三个人中谁活下来的机会最大呢？他们都应该采取什么样的策略？

Annie：这个题乍一看，晕死；冷静下来想想，理清思路，就不难了：
有话语权的只有小李：
1）小李、小黄要是不能命中小林，只要两轮，他们两个都死；小李要想活，就要争取轮不到小林开第二枪；
2） 第一轮结束，不是小林死就是小黄死，小李一定活；但是小李肯定希望活着的是小黄，小黄能活说明小黄第一枪已经命中小林；以小林50%的命中率，第一枪能命中小林，第二枪失误可能性会非常大；所以这样小李第二轮存活几率会高些，因此原则上讲小李会帮着小黄打小林；
3）不过小李考虑到万一他第一枪把小林打死了，小黄下一个开枪，肯定对象是他；即使小黄第一枪打不中他，轮到小李开第二枪，而以小李自己30%的命中率，不大可能连续两枪打死两个人的，所以这一枪很可能失误；下一个轮到小黄，而小黄的命中率是50%，小黄第二枪干掉他的可能性很大。
总结：为了争取最大的生存可能，小李希望第一轮小林倒下，但是不是他出的手；第一枪会考虑放弃。

详细讨论：
先考虑双人决斗--------
a）小李小黄决斗：
小李活的几率：N李=30%+(70%x50%x30%)+(70%x50%x70%x50%x30%)+...=30%x(1+a+a^2+...) a=70%x50%=35%
假设 A=1+a+a^2+...+a^n (0<a<1) 那么有Axa=a+a^2+...+a^（n+1）=> 当n趋于无穷大时，A-Axa=1 于是A=1/(1-a)
N李=30%x1/(1-35%)=30%/65%≈0.462
小黄活的几率：
N黄=70%x50%+70%x50%x70%x50%+....=A-1=1/(1-a) - 1 = 1/(1-0.35) - 1 =35%/65%≈0.538
b）小李小林决斗
小李活的几率=30%
小林活的几率=70%
c)小黄小林决斗
小黄活的几率=50%
小林活的几率=50%
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如果小李第一枪打小林---
小李活的可能性组合：
1）小李枪杀小林，小黄失误未杀死小李，小李小黄决斗最终小李活的几率：30%x50%x30%/65%≈0.069
2）小李未杀掉小林，小黄杀了小林，小李小黄决斗最终小李活的几率：70%x50%x30%/65%≈0.162
3）小李小黄均未杀掉小林，小林杀了小黄，小李小林决斗小李活的几率：70%x50%x30%=0.105
N李≈0.336
小黄活的可能性组合：
1)小李枪杀小林，小黄杀死小李: 30%x50%=0.15
2)小李枪杀小林，小黄失误未杀死小李，小李小黄决斗小黄活的几率：30%x50%x35%/65%≈0.081
3)小李失误未杀掉小林，小黄杀了小林，小李小黄决斗小黄活的几率：70%x50%x35%/65%≈0.188
N黄≈0.419
小林活的可能性：小李小黄均失误，小林杀小黄，小李小林对决小林活的几率: N林=70%x50%x70%=0.245
如果小李第一枪打小林，小黄生存的机会最大...

但是如果小李第一枪放弃---
小李活的可能性组合：
1）小黄杀了小林，小李小黄决斗最终小李活的几率：50%x30%/65%≈0.231
2）小黄未杀掉小林，小林杀了小黄，小李小林决斗小李活的几率：50%x30%=0.15
N李≈0.381
小黄活的可能性：小黄杀掉小林，小李小黄决斗小黄活的几率：N黄=50%x35%/65%≈0.269
小林活的可能性：小黄失误未杀掉小林，小林杀小黄，小李小林决斗小林活的几率: N林=50%x70%=0.35
如果小李第一枪放空枪，小李生存的机会最大，而且存活概率大于选择第一枪打小林的的存活概率。

结论：如果小李第一枪放空枪，小李的生存机会会最大；如果选择第一枪帮小黄打小林，则小黄的生存机会最大。