Floyd算法详讲

正如我们所知道的，Floyd算法用于求最短路径。Floyd算法可以说是Warshall算法的扩展，三个for循环就可以解决问题，所以它的时间复杂度为O(n^3)。

Floyd算法的基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点X到B。所以，我们假设Dis(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点X，我们检查Dis(AX)+Dis(XB)<Dis(AB)是否成立，如果成立，证明从A到X再到B的路径比A直接到B的路径短，我们便设置Dis(AB)=Dis(AX)+Dis(XB)，这样一来，当我们遍历完所有节点X，Dis(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。

很简单吧，代码看起来可能像下面这样：

for ( int i = 0; i < 节点个数; ++i ) { for ( int j = 0; j < 节点个数; ++j ) { for ( int k = 0; k < 节点个数; ++k ) { if ( Dis[i][k] + Dis[k][j] < Dis[i][j] ) { // 找到更短路径 Dis[i][j] = Dis[i][k] + Dis[k][j]; } } } }

但是这里我们要注意循环的嵌套顺序，如果把检查所有节点X放在最内层，那么结果将是不正确的，为什么呢？因为这样便过早的把i到j的最短路径确定下来了，而当后面存在更短的路径时，已经不再会更新了。

让我们来看一个例子，看下图：

图中红色的数字代表边的权重。如果我们在最内层检查所有节点X，那么对于A->B，我们只能发现一条路径，就是A->B，路径距离为9。而这显然是不正确的，真实的最短路径是A->D->C->B，路径距离为6。造成错误的原因就是我们把检查所有节点X放在最内层，造成过早的把A到B的最短路径确定下来了，当确定A->B的最短路径时Dis(AC)尚未被计算。所以，我们需要改写循环顺序，如下：

for ( int k = 0; k < 节点个数; ++k ) { for ( int i = 0; i < 节点个数; ++i ) { for ( int j = 0; j < 节点个数; ++j ) { if ( Dis[i][k] + Dis[k][j] < Dis[i][j] ) { // 找到更短路径 Dis[i][j] = Dis[i][k] + Dis[k][j]; } } } }

如果还是看不懂，那就用草稿纸模拟一遍，之后你就会廓然开朗。半个小时足矣（我就是这么干的。。。。。早知道的话会节省很多歌半小时。。）

这样一来，对于每一个节点X，我们都会把所有的i到j处理完毕后才继续检查下一个节点。

那么接下来的问题就是，我们如何找出最短路径呢？这里需要借助一个辅助数组Path，它是这样使用的：Path(AB)的值如果为P，则表示A节点到B节点的最短路径是A->...->P->B。这样一来，假设我们要找A->B的最短路径，那么就依次查找，假设Path(AB)的值为P，那么接着查找Path(AP)，假设Path(AP)的值为L，那么接着查找Path(AL)，假设Path(AL)的值为A，则查找结束，最短路径为A->L->P->B。

那么，如何填充Path的值呢？很简单，当我们发现Dis(AX)+Dis(XB)<Dis(AB)成立时，就要把最短路径改为A->...->X->...->B，而此时，Path(XB)的值是已知的，所以，Path(AB)=Path(XB)。

测试代码如下：

#include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> #include<string> #include<iostream> #include<algorithm> #include<vector> #include<queue> #include<stack> #include<map> #include<set> using namespace std; #define INFINITE 1000 // 最大值 #define MAX_VERTEX_COUNT 20// 最大顶点个数 // struct Graph { int arrArcs[MAX_VERTEX_COUNT][MAX_VERTEX_COUNT]; // 邻接矩阵 int nVertexCount; // 顶点数量 int nArcCount; // 边的数量 }; // void readGraphData( Graph *_pGraph ) { std::cout << "请输入顶点数量和边的数量: "; std::cin >> _pGraph->nVertexCount; std::cin >> _pGraph->nArcCount; std::cout << "请输入邻接矩阵数据:" << std::endl; for ( int row = 0; row < _pGraph->nVertexCount; ++row ) { for ( int col = 0; col < _pGraph->nVertexCount; ++col ) { std::cin >> _pGraph->arrArcs[row][col]; } } } void floyd( int _arrDis[][MAX_VERTEX_COUNT], int _arrPath[][MAX_VERTEX_COUNT], int _nVertexCount ) { // 先初始化_arrPath for ( int i = 0; i < _nVertexCount; ++i ) { for ( int j = 0; j < _nVertexCount; ++j ) { _arrPath[i][j] = i; } } // for ( int k = 0; k < _nVertexCount; ++k ) { for ( int i = 0; i < _nVertexCount; ++i ) { for ( int j = 0; j < _nVertexCount; ++j ) { if ( _arrDis[i][k] + _arrDis[k][j] < _arrDis[i][j] ) { // 找到更短路径 _arrDis[i][j] = _arrDis[i][k] + _arrDis[k][j]; _arrPath[i][j] = _arrPath[k][j]; } } } } } void printResult( int _arrDis[][MAX_VERTEX_COUNT], int _arrPath[][MAX_VERTEX_COUNT], int _nVertexCount ) { std::cout << "Origin -> Dest Distance Path" << std::endl; for ( int i = 0; i < _nVertexCount; ++i ) { for ( int j = 0; j < _nVertexCount; ++j ) { if ( i != j ) // 节点不是自身 { std::cout << i+1 << " -> " << j+1 << "\t\t"; if ( INFINITE == _arrDis[i][j] ) // i -> j 不存在路径 { std::cout << "INFINITE" << "\t\t"; } else { std::cout << _arrDis[i][j] << "\t\t"; // 由于我们查询最短路径是从后往前插，因此我们把查询得到的节点 // 压入栈中，最后弹出以顺序输出结果。 std::stack<int> stackVertices; int k = j; do { k = _arrPath[i][k]; stackVertices.push( k ); } while ( k != i ); // std::cout << stackVertices.top()+1; stackVertices.pop(); unsigned int nLength = stackVertices.size(); for ( unsigned int nIndex = 0; nIndex < nLength; ++nIndex ) { std::cout << " -> " << stackVertices.top()+1; stackVertices.pop(); } std::cout << " -> " << j+1 << std::endl; } } } } } int main() { Graph myGraph; readGraphData( &myGraph ); // int arrDis[MAX_VERTEX_COUNT][MAX_VERTEX_COUNT]; int arrPath[MAX_VERTEX_COUNT][MAX_VERTEX_COUNT]; // 先初始化arrDis for ( int i = 0; i < myGraph.nVertexCount; ++i ) { for ( int j = 0; j < myGraph.nVertexCount; ++j ) { arrDis[i][j] = myGraph.arrArcs[i][j]; } } floyd( arrDis, arrPath, myGraph.nVertexCount ); // printResult( arrDis, arrPath, myGraph.nVertexCount ); // return 0; }