单源最短路径（ Dijkstra算法）JAVA实现

单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。

一.最短路径的最优子结构性质

该性质描述为：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。

假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

二.Dijkstra算法

Dijkstra提出按各顶点与源点v间的路径长度的递增次序，生成到各顶点的最短路径的算法。既先求出长度最短的一条最短路径，再参照它求出长度次短的一条最短路径，依次类推，直到从源点v 到其它各顶点的最短路径全部求出为止。

public class Dijkstra {
    static int M=10000;(此路不通)
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        int[][] weight1 = {//邻接矩阵
                {0,3,2000,7,M},
                {3,0,4,2,M},
                {M,4,0,5,4},
                {7,2,5,0,6},    
                {M,M,4,6,0}
        };


        int[][] weight2 = {
                {0,10,M,30,100},
                {M,0,50,M,M},
                {M,M,0,M,10},
                {M,M,20,0,60},
                {M,M,M,M,0}
        };
        int start=0;
        int[] shortPath = Dijsktra(weight2,start);

        for(int i = 0;i < shortPath.length;i++)
             System.out.println("从"+start+"出发到"+i+"的最短距离为："+shortPath[i]);  

    }


    public static int[] Dijsktra(int[][] weight,int start){
     //接受一个有向图的权重矩阵，和一个起点编号start（从0编号，顶点存在数组中）
        //返回一个int[] 数组，表示从start到它的最短路径长度
        int n = weight.length;        //顶点个数
        int[] shortPath = new int[n];    //存放从start到其他各点的最短路径
        String[] path=new String[n]; //存放从start到其他各点的最短路径的字符串表示
         for(int i=0;i<n;i++)
             path[i]=new String(start+"-->"+i);
        int[] visited = new int[n];   //标记当前该顶点的最短路径是否已经求出,1表示已求出

        //初始化，第一个顶点求出
        shortPath[start] = 0;
        visited[start] = 1;

        for(int count = 1;count <= n - 1;count++)  //要加入n-1个顶点
        {

            int k = -1;    //选出一个距离初始顶点start最近的未标记顶点
            int dmin = Integer.MAX_VALUE;
            for(int i = 0;i < n;i++)
            {
                if(visited[i] == 0 && weight[start][i] < dmin)
                {
                    dmin = weight[start][i];

                    k = i;
                }  

            }
           // System.out.println("k="+k);

            //将新选出的顶点标记为已求出最短路径，且到start的最短路径就是dmin
            shortPath[k] = dmin;

            visited[k] = 1;

            //以k为中间点，修正从start到未访问各点的距离
            for(int i = 0;i < n;i++)
            {                 
                if(visited[i] == 0 && weight[start][k] + weight[k][i] < weight[start][i]){
                     weight[start][i] = weight[start][k] + weight[k][i];

                     path[i]=path[k]+"-->"+i;

                }

            }  

        }
         for(int i=0;i<n;i++)
           System.out.println("从"+start+"出发到"+i+"的最短路径为："+path[i]);  
         System.out.println("=====================================");

        return shortPath;
    }
}

对于下图：
[img]http://dl.iteye.com/upload/attachment/0073/8325/d4cd7e7c-8660-3788-8835-0aafa2e430b0.png[/img]

运行结果：
从0出发到0的最短路径为：0-->0
从0出发到1的最短路径为：0-->1
从0出发到2的最短路径为：0-->3-->2
从0出发到3的最短路径为：0-->3
从0出发到4的最短路径为：0-->3-->2-->4
=====================================
从0出 发到0的最短距离为：0
从0出 发到1的最短距离为：10
从0出 发到2的最短距离为：50
从0出 发到3的最短距离为：30
从0出 发到4的最短距离为：60

下载源码：