利用动态规划求连续数组最大和以及最大子矩阵的和

题目一：

给定一个整型数组，数组中有正有负，求最大连续子序列的和。

 

解法：

利用动态规划的思想。

设f(n)表示以a[n]为子序列最后一个元素的最大和，则可以有下面的规则：

（1）当f(n-1)<0时，f(n)=a[n];

（2）当n!=0且f(n-1)>0时，f(n)=f(n-1)+a[n]。

用一个nGreatestNum来记录最大值，每次与f(n)进行比较，不断更新即可。

 

题目二：

给定一个二维数组，数组中有正有负，求最大子矩阵的和。

 

解法：

仍然用动态规划的思想。

首先，将二维问题降维处理：

例如，用2 维数组a[1 : m][1 : n]表示给定的m行n列的整数矩阵。子数组a[i1 : i2][j1 : j2]表示左上角和右下角行列坐标分别为(i1, j1)和(i2, j2)的子矩阵。

先按照行排列出所有可能区间，然后，再去求列的范围。

更详细的，当行区间确定之后，剩下就是确定列区间了，一旦确定列区间，最大子矩阵就确定了。

当行区间确定之后，求列区间的方法，可以转化成一维数组的最大连续子序列的问题：对行区间[i1, j1]，依次对列进行求和，就得到n个数据的以为数组，根据最大连续子序列的和的求法，就可以获得连续子序列最大和。

仍然用nGreatestNum来记录最大值，算出一个子矩阵的和，就进行比较即可。

 

复杂度分析：

（1）排列出行区间，复杂度为O(M*M);

（2）而求得最大子序列的和复杂度为O(N)；

（3）对于行区间确定之后对列求和的复杂度呢？

这里采用“部分和”的做法。

用BC[i][j]表示0到i行、0到j列的总和。

那么对于行区间r->l，求第i列的和：BC[l][i] - B[r-1][i] - B[l][i-1] + B[r-1][i-1]。

而求“部分和”仅需要O(N*M)。可以预先计算好。

因此，算法复杂度为O(N*M*M)。

 

转自：http://blog.youkuaiyun.com/yahohi/article/details/7958261