最大子段和、最大子矩阵（动态规划）

最大子段和问题：
如果有一个一维数组a[n]，如何找出连续的一段，使其元素之和最大呢

1.穷举法
2.动态规划

我们另b[i-1]表示以a[i-1]结尾的最大子段和，那么b[i]只有两种情况b[i-1] + a[i]和a[i],我们取二者最大的，即b[i] = max(b[i -1] + a[i],a[i])（状态转移方程）

代码如下：

int MaxSubArray(int a[],int n)
{
    int i,b = 0,sum = 0;//b记录前一个最大子段和，sum记录最大子段和
    for(i = 0;i < n;i++)
    {
        if(b + a[i] > a[i])                
            b += a[i];  
        else    
            b = a[i];
        if(b > sum)    
            sum = b;
    }
    return sum;
}

最大子矩阵问题

说了这么多，这跟最大子矩阵有什么关系呢？当然有关系学啦！二维就是一维的扩展，把二维压扁不就变成一维了吗？

我们假设所求N*N的矩阵的最大子矩阵是从i列到j列，q行到p行，如下图所示（假设下标从1开始）

a[1][1]　　a[1][2]　　······　　a[1][i]　　······　　a[1][j] 　　······　　a[1][n]

a[2][1]　　a[2][2]　　······　　a[2][i]　　······　　a[2][j]　　 ······　　a[2][n]

······

a[q][1]　　a[q][2]　　······　　a[q][i]　　······　　a[q][j]　　······　　a[q][n]

······

a[p][1]　　a[p][2]　　······　　a[p][i]　　······　　a[p][j]　　······　　a[p][n]

······

a[n][1]　　a[n][2]　　······　　a[n][i]　　······　　a[n][j]　　······　　a[n][n]

最大子矩阵就是图示红色部分，如果把最大子矩阵同列的加起来，我们可以得到一个一维数组{a[q][i]+······+a[p][i] , ······ ，a[q][j]+······+a[p][j]} ，现在我们可以看出，这其实就是一个一维数组的最大子段问题。如果把二维数组看成是纵向的一维数组和横向的一维数组，那问题不就迎刃而解了吗？把二维转换成了我们刚刚解决了的问题。

蓝桥杯的最大子矩阵的题：最大子矩阵
代码如下：

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;

long long MaxSub(long long arr[],int n){
	long long b = 0;
	long long sum = -1000000000; 
	for(int i = 0;i < n;i++){
		if(b + arr[i] < arr[i]){
			b = arr[i];
		}else{
			b = b + arr[i];
		}
		if(sum < b){
			sum = b;
		}
	}
	return sum;
} 

long long rec[510] = {0};
int tab[510][510] = {0};

int main(){
	
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i = 0;i < n;i++){
		for(int j = 0;j < m;j++){
			int t;
			cin>>t;
			tab[i][j] = t;
		}
	}
	long long maxx = -100000000;
	for(int i = 0; i < n;i++){
		memset(rec,0,sizeof(rec));
		for(int j = i; j < n;j++){
			for(int k = 0;k < m;k++){
				rec[k] += tab[j][k];
			}
			long long t = MaxSub(rec,m);
			if(t > maxx){
				maxx = t;
			}
		}
	}
	cout<<maxx;
	return 0;
}