X-factor Chains（数学 + 素数筛选 + 因数分解）

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X-factor Chains

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Description

Given a positive integer X, an X-factor chain of length m is a sequence of integers,

1 = X₀, X₁, X₂, …, X_m = X

satisfying

X_i < X_i₊₁ and X_i | X_i₊₁ where a | b means a perfectly divides into b.

Now we are interested in the maximum length of X-factor chains and the number of chains of such length.

Input

The input consists of several test cases. Each contains a positive integer X (X ≤ 2²⁰).

Output

For each test case, output the maximum length and the number of such X-factors chains.

Sample Input

Sample Output

题意：

给出数 X（小于等于2 ^ 20），定义 1 = X₀, X₁, X₂, …, X_m = X，满足 Xi-1 必能整除 Xi，输出满足这样序列的最长 m 和满足最长 m 的次数 N。

思路：

数学 + 素数筛选 + 排列组合。Xi-1 必能整除 Xi，故将 X 因式分解成一个个质因子，后求质因子的排列组合种数即可。但是TLE了 N 遍，题目给的范围是2 ^ 20，说明质因子个数最多不超过20个，所以只需要开保存质因子个数的数组到20 + 5就好。如果开到MAX长度的话，memset 会导致TLE。素数筛选也可以改进。

AC：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX ((1<<20) + 5)

typedef long long ll;

int vis[MAX],pri[MAX],sum[25]; //开25就好
ll A_num[25];
int num;

void make_pri() {
    num = 0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    vis[1] = 1;

    for(int i = 2;i * i < MAX;i++) {
            if(vis[i]) continue;
            for(int j = i;j * i < MAX;j++)  //j为倍数，从i倍开始
                    vis[i * j] = 1;
    }

//要另外开个循环存素数，因为在上面存素数的话，只存到i * i < MAX 时候 i 前面的部分
    for(int i = 2;i < MAX;i++)  
        if(!vis[i]) pri[num++] = i;
}

void A() {
    A_num[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= 20;i++)
        A_num[i] = A_num[i - 1] * i;
}

int main() {
    int n;
    make_pri();
    A();

    while(~scanf("%d",&n)) {
            if(!vis[n]) printf("1 1\n");
            else {
                    int ans = 0,s = 0;
                    memset(sum,0,sizeof(sum));  //数组太大会超时

                    for(int i = 0;i < num;++i) {
                            if(n == 1) break;
                            if(!vis[n]) {
                                    ans++;
                                    break;
                            }

                            if(!(n % pri[i]))   s++;
                            while(!(n % pri[i])) {
                                    n /= pri[i];
                                    sum[s]++;
                                    ans++;
                            }
                    }

                    ll res;
                    printf("%d ",ans);

                    res = A_num[ans];
                    for(int i = 1;i <= s;++i)
                            if(sum[i] > 1)   res /= A_num[sum[i]];

                    printf("%I64d\n",res);
                }
    }
    return 0;
}