斐波那契数列

斐波那契数列

“斐波那契 数列”的发明者，是 意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，籍贯大概是 比萨，卒于1240年后）。他还被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了 印度和 阿拉伯数学理论的 欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的 阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在 埃及、 叙利亚、 希腊、 西西里和 普罗旺斯研究 数学。 《 达·芬奇密码》中还提到过这个斐波那契 数列.. 菲波那契 数列指的是这样一个 数列：1，1，2，3，5，8，13，21…… 这个 数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】 很有趣的是：这样一个完全是 自然数的 数列，通项公式居然是用无理数来表达的。 该数列有很多奇妙的属性 比如：随着 数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近 黄金分割0.6180339887…… 还有一项性质，从第二项开始，每个 奇数项的平方都比前后两项之积少1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多1 如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的 长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契 数列的这个性质：5、8、13正是 数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到 如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着 数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的 平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值 斐波那契数列别名 斐波那契 数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子 数列”。 斐波那挈数列通项公式的推导 斐波那挈 数列：1，1，2，3，5，8，13，21…… 如果设F(n)为该 数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式： F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3) 显然这是一个线性递推 数列。 通项公式的推导方法一：利用特征方程 线性递推 数列的特征方程为： X^2=X+1 解得 X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2. 则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n ∵F(1)=F(2)=1 ∴C1*X1 + C2*X2 C1*X1^2 + C2*X2^2 解得C1=1/√5，C2=-1/√5 ∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】 通项公式的推导方法二：普通方法 设常数r,s 使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] 则r+s=1, -rs=1 n≥3时，有 F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)] F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)] …… F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)] 将以上n-2个式子相乘，得： F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)] ∵s=1-r，F(1)=F(2)=1 上式可化简得： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 那么： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3) …… = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1) （这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的 等比数列的各项的和） =[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s) =(s^n - r^n)/(s-r) r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2 则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} C语言程序 main() { long fib[40] = {1,1}; int i; for(i=2;i<40;i++) { fib = fib[i-1]+fib[i-2]; } for(i=0;i<40;i++) { printf("F%d==%d\n", i, fib); } return 0; }