使用lbaby筛，求10亿之内的所有素数（Yet Another Prime Algorithm)

求10亿之内的所有素数

原题目在这里：

http://bbs2.chinaunix.net/thread-1433650-1-1.html

1，第一步思考：

只有个位数是 1 ,3 ,7 , 9 的数才可能是素数 －－ （结论1）

根据这个结论，可以对 10亿内的自然数作如下 划分：

设 集合G为：{ 个位数 为1，3，7，9}

集合X为:{个位数 为 :0, 2, 4, 5, 6,8的数}

2，第二步，反过来想

如果我们能划掉 集合G中 的非素数，则余下的数都是素数了(筛法)

那么，如何才能找出G中的非素数呢？

看如下定理:

非素数一定能写为两个或两个以上素数的乘积:

g= p1*p2*...*pN (pN为素数，N>=2)

好了，我们的定理就写到这里已经够用了

恩，有同学想到了，用乘法!

举个例子：

比如：

1， 3， 7， 9,

11,13,17,19,

21,23,27,29

这12个数中，

我们拿 3 *3 ,得出9，则可以确定，9不是素数把它划掉

拿3*7得出 21，则可以确定，21不是素数，把它划掉

3*9=27 划掉27

3，确定完备性

如何确定集合G中的数全部是素数呢？

接下来看这两个划分（请参照离散数学中的划分定义）：

设 集合G为：{ 个位数 为1，3，7，9}

集合X为:{个位数 为 :0, 2, 4, 5, 6,8的数}

我们知道，两个数相乘，它的个位数字就是 （ 两个数的 个位数的乘积）的个位数 （头晕啊）

例子：

99×88 = 8712

两个数的个位数

9 和8

的它们的乘积为：

72

这个乘积的个位数为：

2

和8712 的个位数是相匹配的。

OKOK，打住，很多同学都已经要睡着了

根据结论：

两个数相乘，它的个位数字就是 （ 两个数的 个位数的乘积）的个位数 （头晕啊）

再回头看集合G,X:

设 集合G为：{ 个位数 为1，3，7，9}

集合X为:{个位数 为 :0, 2, 4, 5, 6,8的数}

结论很明显：

集合G 对乘法是封闭的：就是说，G中的任意元素，经过乘法以后，其结果仍然是G的成员，

集合X对乘法是封闭的：就是说，x中的任意元素，经过乘法以后，其结果仍然是X的成员

G,X对乘法结论：

任意的自然数相乘，只要它结果是在G中，那么它的乘数因子中一定不含X的元素，

如果它的结果在X中，那么它的乘数中至少有一个是X中的元素－－(结论2）

非素数一定能写为两个或两个以上素数的乘积:

g= p1*p2*...*pN (pN为素数，N>=2)

－－－（定理1）

素数

再看上边的结论1：

只有个位数是 1 ,3 ,7 , 9 的数才可能是素数

即 素数必然存在于G中－－ （结论1）

我们可以得出如下的算法（N以内的素数求法）：

只要G中的元素两两相乘，划掉乘积数，余下的数就是素数了

取G的子集GX：｛小于等于N的G的所有元素}

对GX中的G1,G2...Gn ，取两任意两个数相乘，在GX中去掉这个乘积数，直到这个乘积大于N

我把这个算法称为《lbaby筛》（哈哈）

算法的证明：反证法：

假设GX中存在一个数gx 是非素数(gx < N)，这个数没有被去掉

根据定理1，

gx 可以写成 gx=p1*p2...*pn(n>=2)

其中p1,..pn 为素数且pn < gx <N

则可以推出：p1,...pn 之中应至少有一个不存在于 GX 中，

证明如下：

因为乘法是可结合的

gx可以写成 是算法中两个数相乘的形式：

gx = p1*px (px= p2*...pn)

根据上边的结论2，可以知道，p1或px 中至少有一个不在

集合G{个位数 为1，3，7，9的自然数}中

若p1 不在G中，就是我们要证明的：p1,...pn 之中应至少有一个不存在于 GX 中

若px 不在G中，则可以重复上述的步骤，直至分解成为不可再分解的形式

仍然可以很容易地推导出结论：p1,...pn 之中应至少有一个不存在于 GX 中

由结论1可知，上边的结论与我们假设集合G的矛盾，所以，假设不成立

4,优化：

A，因为只是记录这个数 是否 素数，所以，每个数只占一个bit即可，

一个字节可以存20以内的素数信息，

计算完成的前两个内存字节：

内存：

0 0 0 10 0 001 01 0 0 1 0 1

应该被解释为：

------------------+|+------------------------------

1 3 7 9 11 13 17 19 21 23 27 29 31 33 37 39

由于bit 4 是被置位的，所以，9不是素数

10亿个数：

10亿/20 = 5千万=50MB 内存

bit所在的内存 位置 就能标记这个数是哪个数

B,只存储个位数是 1，3，7，9的整数

C，内存的写比读代价要高得多，先检测需要置的位，如果已经置位，不需要重复置位

D，使用加法代替乘法

5，烧包的性能测试：

（大2那年写的代码，一闪7年了啊，时光如水）：

ly@01:~/tst> time echo | ./tb

arrnum: 6104

^_^ 内存初始化完成，primedat类的对象构造成功

time: 2.95

由于生成的数据很大，一一输出将耗费大量时间

输入"show"显示结果，其它任意字符退出:

real 0m3.008s

user 0m2.972s

sys 0m0.036s

ly@01:~/tst>

以下是烧包的测试机：

ly@01:~/tst> free

total used free shared buffers cached

Mem: 4144748 801780 3342968 0 316120 337872

-/+ buffers/cache: 147788 3996960

Swap: 8369856 4980 8364876

ly@01:~/tst> cat /proc/cpuinfo | grep processor

processor : 0

processor : 1

processor : 2

processor : 3

processor : 4

processor : 5

processor : 6

processor : 7

processor : 6

vendor_id : GenuineIntel

cpu family : 6

model : 23

model name : Intel(R) Xeon(R) CPU E5405 @ 2.00GHz

stepping : 6

cpu MHz : 1995.033

cache size : 6144 KB

physical id : 1

siblings : 4

core id : 1

cpu cores : 4

fdiv_bug : no

hlt_bug : no

f00f_bug : no

coma_bug : no

fpu : yes

fpu_exception : yes

cpuid level : 10

wp : yes

flags : fpu vme de pse tsc msr pae mce cx8 apic sep mtrr pge mca cmov pat pse36 clflush dts acpi mmx fxsr sse sse2 ss ht tm pbe lm constant_tsc pni monitor ds_cpl vmx tm2 cx16 xtpr lahf_lm

bogomips : 3990.10

N年前的代码：

点击下边的链接：

http://www.esnips.com/doc/4358e49f-49f8-4170-a846-5f3adb160a31/tst

选 择

Download tst.rar

就可以下载代码了

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经过测试，上边的烧包代码有错，稍后给出比较好的实现

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