跳台阶问题

题目：一个台阶总共有n 级，如果一次可以跳1 级，也可以跳2 级。
求总共有多少总跳法，并分析算法的时间复杂度。

分析：在九月腾讯，创新工场，淘宝等公司最新面试十三题中第23题又出现了这个问题，题目描述如下：23、人人笔试1：一个人上台阶可以一次上1个，2个，或者3个，问这个人上n层的台阶，总共有几种走法？咱们先撇开这个人人笔试的问题（其实差别就在于人人笔试题中多了一次可以跳三级的情况而已），先来看这个第27题。

首先考虑最简单的情况。如果只有1级台阶，那显然只有一种跳法。如果有2级台阶，那就有两种跳的方法了：一种是分两次跳，每次跳1级；另外一种就是一次跳2级。

现在我们再来讨论一般情况。我们把n级台阶时的跳法看成是n的函数，记为f(n)。当n>2时，第一次跳的时候就有两种不同的选择：一是第一次只跳1级，此时跳法数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目，即为f(n-1)；另外一种选择是第一次跳2级，此时跳法数目等于后面剩下的n-2级台阶的跳法数目，即为f(n-2)。因此n级台阶时的不同跳法的总数f(n)=f(n-1)+(f-2)。

我们把上面的分析用一个公式总结如下：

/ 1 n=1
f(n)= 2 n=2
\ f(n-1)+(f-2) n>2

那么，如果是人人笔试那道题呢?一个人上台阶可以一次上1个，2个，或者3个，岂不是可以轻而易举的写下如下公式：

/ 1 n=1
f(n)= 2 n=2

4 n=3 //111, 12, 21, 3
\ f(n-1)+(f-2)+f(n-3) n>3

简单的一种算法如下：

long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)
{
int result[4] = {0,1,2,4};
if(n <=3)
return result[n];
return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2)+Fibonacci_Solution1(n - 3);
}

原来上述问题就是我们平常所熟知的Fibonacci数列问题。可编写代码，如下：

含有递归的版本和迭代的版本：

long long jump_sum2(int n) //迭代(经测试代码是对的)
{
	//assert(n>0);//如果表达式的值为假，整个程序将退出，并输出一条错误信息。如果表达式的值为真则继续执行后面的语句。 

	if (n == 1 || n == 2) return n;
	long long an, an_2=2, an_1=1;
	for (; n>=3; n--)
	{    
		an = an_2 + an_1;
		an_1 = an_2;
		an_2 = an;

	}
	return  an;
}


int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	//cout<<Fibonacci_Solution2(5)<<endl;
	//cout<<jump(100)<<endl;
	//cout<<jump_sum(5)<<endl;
	cout<<jump_sum2(100)<<endl;
	system("pause");

	return 0;
}