0-1背包问题

最新推荐文章于 2025-06-16 21:52:04 发布

iteye_6028

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分类专栏：动态规划文章标签：数据结构与算法

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在动态规划中，有一类经常出现的问题，即0-1背包问题。所谓0-1背包问题，即有n个物品，其每个背包的价值为vi(1<=i<=n),每个物品的重量为wi(1<=i<=n),背包能够放的总重量为c，求放哪几个物品使得物品的总价值最大。
很明显，物品要么放进背包，要么不放进。故称为0-1背包。
我们假设放进了m个物品{x1,x2,...,xm},那么它是满足最优子结构的，即如果这是问题的最优解，那么{x2,...,xm}一定是问题c-wx1的最优解。所以，这道问题可以用动态规划进行求解。
我们可以定义一个数组m[i][j],用它表示背包容量为j，可选物品为i,i+1,...,n时背包问题的最优值。那么我们可以推断出：
当wi>j时，m[i][j]=m[i+1][j],当wi<=j时，m[i][j]=max{m[i+1][j],m[i+1][j-wi]+vi}。
所以求解背包问题的代码如下：


#include<iostream>
#include<algorithm> 
using namespace std; 
int n; 
//计算
void cal(int *v,int *w,int c,int m[6][11]){

   int jMax = min(w[n-1]-1,c);
   //首先判断第n个
   for(int j=0;j<=jMax;j++) 
           m[n][j] = 0;
   for(int j=w[n-1];j<=c;j++)
           m[n][j] = v[n-1];
   //在判断2~n
   for(int i=n-1;i>=1;i--) {

       jMax = min(w[i-1]-1,c);
       for(int j=0;j<=jMax;j++)
               m[i][j] = m[i+1][j];
       for(int j=w[i-1];j<=c;j++)
               m[i][j] = max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i-1]]+v[i-1]);            
   } 

   bool tag[6];
   for(int i=n;i>=1;i--){

        if(m[i][c]!=0){

             tag[i]=true; 
             c=c-w[i];             
        } else{

             tag[i]=false; 
        } 
    } 
    for(int i=1;i<=n;i++){

        if(tag[i]){

                   cout<<i<<" ";           
        } 
    } 
} 
//背包问题 
int main() {

    n=5;
    int c=10;
    int w[5] = {2,2,6,5,4};
    int v[5] = {6,3,5,4,6};
    int m[6][11]; 
    cal(v,w,c,m); 

    cout<<endl;
    system("pause");
    return 0;    
}