递归与分治

分治与递归基本思想

分治：分治强调“分而治”，即将一个规模大的难以解决的问题分成若干个规模小的易于解决的并且类型相同的子问题，通过解决这些子问题来最终解决大的问题。

 

递归：对于分治会产生几个问题，首先是如何将大问题分成各个子问题，其次何时才算“分”完了。这两个问题就是“递归”所关心的。如果分解的子问题还不能满足要求，“递归”会继续分下去，直到达到某个条件为止。

 

直接或间接地调用自身 的算法称为递归算法。用函数自身给出定义 的函数称为递归函数。

　　由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。

分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

示例 ：

例1  阶乘函数

阶乘函数可递归地定义为：

n! = 1  　　　　n = 0  (边界条件)

n! = n(n-1)!  　n > 0  (递归方程)

边界条件 与递归方程 是递归函数的二个要素，递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。

 

例2  Fibonacci数列

 

例3  快速排序

 

附录

1. 包含一些算法实现，主要想研究下 “全排列 ”

http://www.cnblogs.com/chinazhangjie/archive/2010/10/07/1845034.html

包含一些示例算法来阐述递归与分治的思想

http://www.xinx.sdnu.edu.cn/sfzx/jpsykc/xlcad/xu02.html#%281%29

2. 主讲在有了递归式后，要做的处理

http://www.cs.pitt.edu/~ztliu/wordpress/2011/05/divide-and-conquer-algorithm/

3. 递归分治在快速排序中应用

http://blog.youkuaiyun.com/afgasdg/article/details/6040707