ACM UVa 算法题 #108 - Maximum Sum的解法

题目的Link在这里：ACM UVa 108 - Maximum Sum

UVa 507和108其实是相关的。507是可以看作是一维的Maximum Interval Sum问题，而本题则是

任何一个n*m的Rectangle：

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
.....................
am1 am2 ... amn

可以看作一个一维的数组，其值为：( (a11+a12+...+a1n), (a21+a22+...+a2n), ..., (am1+am2+...+amn) )
于是求该Rectangle中最大n*k的Sub-Rectangle可以通过求该变换过的一维数组中的最大连续序列获得。注意求得的结果是n*k的。那么，对于二维数组中的每一行都可以有(1+n)*n/2种子序列，比如

a1,
a1, a2
a1, a2, ... an
a2,
a2, a3,
a2, a3, ... an
...
an-1, an
an

通过对每一个这样的子序列求和，正如上面所说，可以把2维问题转化为1维问题。

那么最终的算法的复杂度是多少呢？直觉上，求每行的i...j的子序列需要O(n^3)的复杂度（3层循环，一层i，一层j，一层从i+到j）再加上一维的从左往右的Scan共是O(n^4)。其实，求每行i..j的子序列不需要O(n^3)，注意到从i...j-1到i...j中间相差一个元素，因此可以通过利用上一次的计算的结果来累加的方式获得，所以只需要O(n^2)就可以做到。于是最后的复杂度为O(n^3)。

代码如下：

//
// ACMUVaProblem#108
// http://acm.uva.es/p/v1/108.html
//
// Author:ATField
// Email:atfield_zhang@hotmail.com
//

#include " stdafx.h "

#include < iostream >
#include < cstdlib >

using namespace std;

#define MAX105

int main( int argc, char * argv[])
... {
intn;

cin>>n;

charr[MAX][MAX];

for(inti=0;i<n;++i)
for(intj=0;j<n;++j)
...{
intnum;
cin>>num;
r[i][j]=(char)num;
}


//
//findmaxsubrectangle
//

intmax=r[0][0];
intmax_column=0;
intmax_span=0;
intmax_row_start=0;
intmax_row_end=0;
intsum[MAX];

for(intcolumn=0;column<n;++column)
...{
for(introw=0;row<n;++row)
sum[row]=0;
for(intspan=0;span<n-column;++span)
...{
intcurrent=0;
intleft=0;

for(introw=0;row<n;++row)
sum[row]=sum[row]+r[row][column+span];

for(inti=0;i<n;++i)
...{
if(current<0)
...{
left=i;
current=0;
}

current+=sum[i];

if(current>max)
...{
max=current;
max_row_start=left;
max_row_end=i;
max_column=column;
max_span=span;
}
}
}
}

cout<<max;

return0;
}

二维的Maximum Interval Sum问题，可以建立在一维的基础上面解决。