【算法】最小生成树之Kruskal-优快云博客

本文详细介绍了Kruskal算法的基本原理及其在寻找最小生成树(MST)中的应用，并通过三个具体的POJ题目实例展示了如何使用C语言实现算法，包括求解MST的边长之和及最长边。

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1.Kruskal算法

算法描述：

（1）将点孤立，边非递增排序。
（2）依次添加边e：如果添加e后没有构成回路，则e属于最小生成树（MST, Minimum Spanning Tree）；否则，舍弃。
（3）直至添加n-1条边（n为顶点个数）。

判断添加的边(u,v)是否构成回路，可用并查集（union-find sets）来实现：判断u, v的root节点是否一样，即判断root(u)==root(v)。若相等，说明添加(u,v)后构成回路；反之，则不会。

对并查集优化：root节点的parent域为负值，其绝对值为该树的结点数；并查集的union操作采用加权规则，即两个子树union，节点数多的子树的root为新树的root。

2.问题

2.1 POJ 1258

求：MST的边长之和。

源代码

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#define MAX 100

typedef struct dis
{
	int vx,vy;
	int value;
}dis;
dis edge[MAX*(MAX-1)/2];
int parent[MAX*(MAX-1)/2];

int cmp(const void *a, const void *b)
{
	return ((dis *)a)->value-((dis *)b)->value;
}

void make_sets(int n)
{
	int i;
	for(i=0;i<n;i++)
		parent[i]=-1;
}

int find(int a)
{
	while(parent[a]>=0)
		a=parent[a];
	return a;
}

void weighted_union(int a, int b)
{
	if(a==b)
		return;
	else
	{
		int temp=parent[a]+parent[b];
		if(parent[a]<parent[b])
		{
			parent[b]=a;
			parent[a]=temp;
		}
		else
		{
			parent[a]=b;
			parent[b]=temp;
		}
	}
}

void kruskal(int n)
{
	int i,sum=0,vx_parent,vy_parent;
	const int edge_num=n*(n-1)/2;
	
	make_sets(edge_num);
	qsort(edge,edge_num,sizeof(dis),cmp);
    
	for(i=0;i<edge_num;i++)
	{
		vx_parent=find(edge[i].vx);
		vy_parent=find(edge[i].vy);
		if(vx_parent!=vy_parent)
		{
			sum+=edge[i].value;
			weighted_union(vx_parent,vy_parent);
		}
	}
	printf("%d\n",sum);
}

int main()
{
	int i,j,k,N,distance;
	while(~scanf("%d",&N))
	{
		for(i=0,k=0;i<N;i++)
			for(j=0;j<N;j++)
			{
				scanf("%d",&distance);
				if(j>i)
				{
					edge[k].vx=i;
					edge[k].vy=j;
					edge[k].value=distance;
					k++;
				}
			}

		kruskal(N);	
	}
	return 0;
}

2.2 POJ 2485

求：MST的最长边。

源代码

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#define MAX 500

typedef struct dis
{
	int vx,vy;
	int value;
}dis;
dis edge[MAX*(MAX-1)/2];
int parent[MAX*(MAX-1)/2];

int cmp(const void *a, const void *b)
{
	return ((dis *)a)->value-((dis *)b)->value;
}

void make_sets(int n)
{
	int i;
	for(i=0;i<n;i++)
		parent[i]=-1;
}

int find(int a)
{
	while(parent[a]>=0)
		a=parent[a];
	return a;
}

void weighted_union(int a, int b)
{
	if(a==b)
		return;
	else
	{
		int temp=parent[a]+parent[b];
		if(parent[a]<parent[b])
		{
			parent[b]=a;
			parent[a]=temp;
		}
		else
		{
			parent[a]=b;
			parent[b]=temp;
		}
	}
}

void kruskal(int n)
{
	int i,longest=0,vx_parent,vy_parent;
	const int edge_num=n*(n-1)/2;
	
	make_sets(edge_num);
	qsort(edge,edge_num,sizeof(dis),cmp);
    
	for(i=0;i<edge_num;i++)
	{
		vx_parent=find(edge[i].vx);
		vy_parent=find(edge[i].vy);
		if(vx_parent!=vy_parent)
		{
			longest=edge[i].value;
			weighted_union(vx_parent,vy_parent);
		}
	}
	printf("%d\n",longest);
}

int main()
{
	int i,j,k,distance;
	int count=1,N,T;
	scanf("%d",&T);
	for(count=1;count<=T;count++)
	{
		scanf("%d",&N);
		for(i=0,k=0;i<N;i++)
			for(j=0;j<N;j++)
			{
				scanf("%d",&distance);
				if(j>i)
				{
					edge[k].vx=i;
					edge[k].vy=j;
					edge[k].value=distance;
					k++;
				}
			}
			
		kruskal(N);	
	}
	return 0;
}

——————————————————— 2013.8.15 updated ——————————————————————

2.3 POJ 2395

与POJ 2495类似，求MST的最长边，不同处在于输入，图可能不是完全图。

由于可能不是完全图，(n,m)图可能不满足m=n*(n-1)/2，因此WA一次。

源代码：

2395

Accepted

288K

63MS

1350B

2013-08-15 17:59:36

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"

#define MAXN 2000
#define MAXM 10000

typedef struct dis
{
	int vx,vy;
	int value;
}dis;

dis edge[MAXM];
int parent[MAXN];

int cmp(const void *a, const void *b)
{
	return ((dis *)a)->value-((dis *)b)->value;
}

/*initialize the sets*/ 
void make_sets(int n)
{
	int i;
	for(i=0;i<n;i++)
		parent[i]=-1;
}

/*find the root of a*/
int find(int a)
{
	while(parent[a]>=0)
		a=parent[a];
	return a;
}

/*based on the parent field, union root a and root b*/
void weighted_union(int a, int b)
{
	if(a==b)
		return;
	else
	{
		int temp=parent[a]+parent[b];
		if(parent[a]<parent[b])
		{
			parent[b]=a;
			parent[a]=temp;
		}
		else
		{
			parent[a]=b;
			parent[b]=temp;
		}
	}
}

void kruskal(int n,int m)
{
	int i,longest=0,vx_parent,vy_parent;
	
	make_sets(n);

	/*sort the edge of struct dis*/
	qsort(edge,m,sizeof(dis),cmp);
    
	/*the last added edge is the longest*/
	for(i=0;i<m;i++)
	{
		vx_parent=find(edge[i].vx);
		vy_parent=find(edge[i].vy);
		if(vx_parent!=vy_parent)
		{
			longest=edge[i].value;
			weighted_union(vx_parent,vy_parent);
		}
	}
	printf("%d\n",longest);
}

int main()
{
	int i,N,M;
	scanf("%d%d",&N,&M);

	for(i=0;i<M;i++)
		scanf("%d%d%d",&edge[i].vx,&edge[i].vy,&edge[i].value);
	
	kruskal(N,M);	
	return 0;
}