动态规划-01背包问题

最新推荐文章于 2025-06-12 22:47:31 发布

iteye_19903

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文章标签：算法动态规划

在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2……Wn，与之相对应的价值为P1,P2……Pn。求出获得最大价值的方案。

注意：在本题中，所有的体积值均为整数。01的意思是，每个物品都是一个整体，要么整个都要，要么都不要。

1）最优子结构

考虑所有物品的子集合，考虑第n个物品都有两种情况: 1. 包括在最优方案中 2. 不在最优方案中

因此，能获得的最大价值，即为以下两个值中较大的那个

1) 在剩下 n-1 个物品中(剩余 W 重量可用)的情况能得到的最大价值 (即排除了第n个物品)

2) 第n个物品的价值加上剩下剩下的 n-1 个物品(剩余W- wn的重量)能得到的最大价值。(即包含了第n个物品)

如果第n个物品的重量，超过了当前的剩余重量W，那么只能选情况1)，排除第n个物品。

2) 重叠子问题

下面是一个递归的实现，按照上面的最优子结构。

 
    01/* 朴素的递归实现  0-1 背包 */
 
    02#include<stdio.h>
 
    03 
 
    04 int max(int a, int b) { return (a > b)? a : b; } 
 
    05 
 
    06// 返回  前n个物品在容量为W时，能得到的最大价值
 
    07 int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n) 
 
    08{
 
    09    // 没有物品了 
 
    10    if (n == 0 || W == 0) 
 
    11        return 0; 
 
    12 
 
    13    // 如果当前第n个物品超重了，就排除在外 
 
    14    if (wt[n-1] > W) 
 
    15        return knapSack(W, wt, val, n-1); 
 
    16 
 
    17    //返回两种情况下最大的那个 (1) 包括第n个物品 (2) 不包括第n个物品 
 
    18    else return max( val[n-1] + knapSack(W-wt[n-1], wt, val, n-1), 
 
    19                     knapSack(W, wt, val, n-1) 
 
    20                   ); 
 
    21}
 
    22 
 
    23// 测试
 
    24 int main() 
 
    25{
 
    26     int val[] = {60, 100, 120}; 
 
    27     int wt[] = {10, 20, 30}; 
 
    28     int  W = 50; 
 
    29     int n = sizeof(val)/sizeof(val[0]); 
 
    30     printf("%d", knapSack(W, wt, val, n)); 
 
    31     return 0; 
 
    32}

这种方法其实就是搜索了所有的情况，但是有很多重复的计算。时间复杂度是指数级的 O(2^n)。

 
    01在下面的递归树中 K() 代表 knapSack(). 
 
    02输入数据如下：
 
    03wt[] = {1, 1, 1}, W = 2, val[] = {10, 20, 30}
 
    04 
 
    05                        K(3, 2)         ---------> K(n, W) 
 
    06                    /            \ 
 
    07                  /                \               
 
    08             K(2,2)                  K(2,1) 
 
    09           /       \                  /    \ 
 
    10         /           \              /        \ 
 
    11        K(1,2)      K(1,1)        K(1,1)     K(1,0) 
 
    12        /  \         /   \          /   \ 
 
    13      /      \     /       \      /       \ 
 
    14K(0,2)  K(0,1)  K(0,1)  K(0,0)  K(0,1)   K(0,0)

可见相同的子问题被计算多次。01背包满足动态规划算法的两个基本属性(重叠子问题和最优子结构)。可以通过自下而上的打表，存储中间结果，来避免重复计算。动态规划解法如下：

 
    01#include<stdio.h>
 
int max(int a, int b) { return (a > b)? a : b; } 
 
    03 
 
int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n) 
 
    05{
 
   int i, w; 
 
   int dp[n+1][W+1]; 
 
    08 
 
   for (i = 0; i <= n; i++) 
 
   { 
 
       for (w = 0; w <= W; w++) 
 
       { 
 
           if (i==0 || w==0) 
 
               dp[i][w] = 0; 
 
           else if (wt[i-1] <= w) 
 
                 dp[i][w] = max(val[i-1] + dp[i-1][w-wt[i-1]],  dp[i-1][w]); 
 
           else 
 
                 dp[i][w] = dp[i-1][w]; 
 
       } 
 
   } 
 
   return dp[n][W]; 
 
    22}
 
    23 
 
int main() 
 
    25{
 
    int val[] = {60, 100, 120}; 
 
    int wt[] = {10, 20, 30}; 
 
    int  W = 50; 
 
    int n = sizeof(val)/sizeof(val[0]); 
 
    printf("%d", knapSack(W, wt, val, n)); 
 
    return 0; 
 
    32}