动态规划(1)-重叠子问题的性质

最新推荐文章于 2024-10-29 07:30:00 发布

iteye_19903

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文章标签：算法

本文详细介绍了动态规划的基本原理，包括重叠子问题和最优子结构两大特性，并通过斐波那契数列实例展示了记忆化存储（自上而下）与打表（自下而上）两种实现方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

动态规划（DP）通过分解成子问题解决了给定复杂的问题，并存储子问题的结果，以避免再次计算相同的结果。我们通过下面这个问题来说明这两个重要属性：

1）重叠子问题
2）最优子结构

1）重叠子问题：

像分而治之，动态规划也把问题分解为子问题。动态规划主要用于：当相同的子问题的解决方案被重复利用。在动态规划中，子问题解决方案被存储在一个表中，以便这些不必重新计算。因此，如果这个问题是没有共同的（重叠）子问题，动态规划是没有用的。例如，二分查找不具有共同的子问题。下面是一个斐波那契函数的递归函数，有些子问题被调用了很多次。

 
    1/* simple recursive program for Fibonacci numbers */

    2 int fib(int n) 

    3{

    4    if ( n <= 1 ) 

    5       return n; 

    6    return fib(n-1) + fib(n-2); 

    7}

执行 fib(5) 的递归树

 
                         fib(5) 

                     /             \ 

               fib(4)                fib(3) 

             /      \                /     \ 

         fib(3)      fib(2)         fib(2)    fib(1) 

        /     \        /    \       /    \ 

  fib(2)   fib(1)  fib(1) fib(0) fib(1) fib(0) 

  /    \ 

    9fib(1) fib(0)

我们可以看到，函数f（3）被称执行2次。如果我们将存储f（3）的值，然后避免再次计算的话，我们会重新使用旧的存储值。有以下两种不同的方式来存储这些值，以便这些值可以被重复使用。

A）记忆化（自上而下）：
B）打表（自下而上）：

一）记忆化（自上而下）：记忆化存储其实是对递归程序小的修改，作为真正的DP程序的过渡。我们初始化一个数组中查找所有初始值为零。每当我们需要解决一个子问题，我们先来看看这个数组(查找表)是否有答案。如果预先计算的值是有那么我们就返回该值，否则，我们计算该值并把结果在数组(查找表)，以便它可以在以后重复使用。

下面是记忆化存储程序：

 
    01/* Memoized version for nth Fibonacci number */

    02#include<stdio.h>

    03#define NIL -1

    04#define MAX 100

    05 

    06 int lookup[MAX]; 

    07 

    08/* Function to initialize NIL values in lookup table */

    09 void _initialize() 

    10{

    11   int i; 

    12   for (i = 0; i < MAX; i++) 

    13     lookup[i] = NIL; 

    14}

    15 

    16/* function for nth Fibonacci number */

    17 int fib(int n) 

    18{

    19    if(lookup[n] == NIL) 

    20    { 

    21     if ( n <= 1 ) 

    22       lookup[n] = n; 

    23     else 

    24       lookup[n] = fib(n-1) + fib(n-2); 

    25    } 

    26 

    27    return lookup[n]; 

    28}

    29 

    30 int main () 

    31{

    32   int n = 40; 

    33   _initialize(); 

    34   printf("Fibonacci number is %d ", fib(n)); 

    35   getchar(); 

    36   return 0; 

    37}

一）打表（自下而上）

下面我们给出自下而上的打表方式，并返回表中的最后一项。

    view source
   

 
    01/* tabulated version */

    02#include<stdio.h>

    03 int fib(int n) 

    04{

    05   int f[n+1]; 

    06   int i; 

    07   f[0] = 0;   f[1] = 1; 

    08   for (i = 2; i <= n; i++) 

    09       f[i] = f[i-1] + f[i-2]; 

    10 

    11   return f[n]; 

    12}

    13 

    14 int main () 

    15{

    16   int n = 9; 

    17   printf("Fibonacci number is %d ", fib(n)); 

    18   getchar(); 

    19   return 0; 

    20}