强大的C# Expression在一个函数求导问题中的简单运用

号称面试的题目总是非常有趣的，这里是又一个例子：

【原题出处】

http://topic.youkuaiyun.com/u/20110928/15/B00A34FE-8544-42E2-A771-3C4A888DB85A.html

【问题梗概】

求一个函数的一阶导数。

【代码方案】

namespace Derivative { class Program { // 求一个节点表达的算式的导函数 static Expression GetDerivative(Expression node) { if (node.NodeType == ExpressionType.Add || node.NodeType == ExpressionType.Subtract) { // 该节点在做加减法，套用加减法导数公式 BinaryExpression binexp = (BinaryExpression)node; Expression dleft = GetDerivative(binexp.Left); Expression dright = GetDerivative(binexp.Right); BinaryExpression resbinexp; if (node.NodeType == ExpressionType.Add) resbinexp = Expression.Add(dleft, dright); else resbinexp = Expression.Subtract(dleft, dright); return resbinexp; } else if (node.NodeType == ExpressionType.Multiply) { // 该节点在做乘法，套用乘法导数公式 BinaryExpression binexp = (BinaryExpression)node; Expression left = binexp.Left; Expression right = binexp.Right; Expression dleft = GetDerivative(left); Expression dright = GetDerivative(right); return Expression.Add(Expression.Multiply(dleft, right), Expression.Multiply(left, dright)); } else if (node.NodeType == ExpressionType.Parameter) { // 该节点是x本身（叶子节点），故而其导数即常数1 return Expression.Constant(1.0); } else if (node.NodeType == ExpressionType.Constant) { // 该节点是一个常数（叶子节点），故其导数为零 return Expression.Constant(0.0); } else if (node.NodeType == ExpressionType.Call) { MethodCallExpression callexp = (MethodCallExpression)node; Expression arg0 = callexp.Arguments[0]; // 一下一元函数求导后均需要乘上自变量的导数 Expression darg0 = GetDerivative(arg0); if (callexp.Method.Name == "Exp") { // 指数函数的导数还是其本身 return Expression.Multiply( Expression.Call(null, callexp.Method, arg0), darg0); } else if (callexp.Method.Name == "Sin") { // 正弦函数的倒数是余弦函数 MethodInfo miCos = typeof(Math).GetMethod("Cos", BindingFlags.Public | BindingFlags.Static); return Expression.Multiply( Expression.Call(null, miCos, arg0), darg0); } else if (callexp.Method.Name == "Cos") { // 余弦函数的导数是正弦函数的相反数 MethodInfo miSin = typeof(Math).GetMethod("Sin", BindingFlags.Public | BindingFlags.Static); return Expression.Multiply( Expression.Negate(Expression.Call(null, miSin, arg0)), darg0); } } throw new NotImplementedException(); // 其余的尚未实现 } static Func<double, double> GetDerivative(Expression<Func<double, double>> func) { // 从Lambda表达式中获得函数体 Expression resBody = GetDerivative(func.Body); // 需要续用Lambda表达式的自变量 ParameterExpression parX = func.Parameters[0]; Expression<Func<double, double>> resFunc = (Expression<Func<double, double>>)Expression.Lambda(resBody, parX); Console.WriteLine("diff function = {0}", resFunc); // 编译成CLR的IL表达的函数 return resFunc.Compile(); } static double GetDerivative(Expression<Func<double, double>> func, double x) { Func<double, double> diff = GetDerivative(func); return diff(x); } static void Main(string[] args) { // 举例：求出函数f(x) = cos(x*x)+sin(3*x)+exp(2*x)在x=2.0处的导数 double y = GetDerivative(x => Math.Cos(x*x) + Math.Sin(3*x) + Math.Exp(2*x), 2.0); Console.WriteLine("f'(x) = {0}", y); } } }

【实现大意】

用表达式分解并递归求导（过程是相当容易的，比想象的还容易）。目前只是实现了一个最简单的模型。

【优势】

给出的是解析解，在求导运算方面没有任何数值解的误差，输出运算也是瞬时的，时间复杂度仅和表达式复杂度相关。

【限制】

1. 函数只能以Lambda表达式输入，只能是能求出解析解的表达式

2. 目前只实现了加减法和乘法

【后续扩展】

1. 实现其他运算符（没有太大难度，只是比较繁琐而已）

2. 表达式树优化（也不太难的，根据情况定），最基本的可以从常数乘法开始……

3. 条件运算符的处理（这个会变得极难极复杂，但一定程度上实现分段函数求导），其他特殊情况（对求导还可以，如果考虑求不定积分问题可能会有很多特殊情况和hardcode）

4. 输入端向字符串解析过渡；复杂运算符->逐渐向自定义的数据结构过渡？……

...

【更新】

20110611: 添加三角和指数函数支持，优化仍未进行。