图论--关键路径

最近忙着做作业。主要是《代数与图论》的一些算法的实现，五一估计不用过了，数据压缩要看论文，信息检索要做实验，实验室还要实现模糊匹配的改进。。。我怎么选了这么些难搞的课啊。。编程珠玑看来要被无限地搁置了

 

说一下关键路径的实现吧。

其实主要也是从网上看来的。

 

关键路径的相关概念：

 

1. AOE图：在工程上，很多任务之间常常有先后顺序的要求，例如，建房子前要先打桩等。任务与任务之前有前后顺序要求时，在图上表现为一个有向边，从任务（1）指向任务（2），并且这中间需要一定的时间间隔，往往把时间间隔做为两个任务间的边的权重。这样的图叫AOE图（Activity on Edge）。下图即为一个AOE图（呵呵，我也是从某个PPT上拷下来的）：

 

2. 最早发生时间：最早发生时间是指从源点v1到任意vi的最长路径，叫事件中vi的最早发生时间。（因为必须等前面需要完成的任务都完成后，才能做vi）

     设ve(i)为vi的最早发生时间，有ve(1)=0, ve(i) = max{ve(i)+dut<j,k>}, <i,j>is in T

     T是所有以j为弧头的弧集合，dut<i,j>表示从i到j需要的时间。

     （如上图结点7， ve(7)=max{ve(4)+a8, ve(5)+a2}）

3. 最迟发生时间：最迟发生时间是指从在不推迟整个工程完成的前提下，ai的最迟必须开始进行的时间。

    设vl(i)为vi的最迟发生时间，有vl(n)=ve(n), vl(i) = min{vl(j)-dut<i,j>}, <i j>is in S

    S是所有以i为弧尾的弧的集合.

    (如上图，vl(5)=min{vl(7)-a5, vl(8)-a10})

4. 当ve(i)+dut<i,j>=vl(j)时，弧<i, j>为关键路径上的弧。

 

这样的话，我们可以先通过拓扑排序一路计算出每个结点的最早发生时间，最后将ve(n)赋予vl(n)然后再一路返回来求每个结点的最迟发生时间，即可求出关键路径上的弧了。

 

算法流程主要是做拓扑排序，这个过程可以顺便求出各个结点的最早发生时间。求结点的最迟发生时间是一个逆排序过程。具体实现的时候，我把队列做成两头通的，用front和rear来表示队列的头部跟尾部。拓扑排序的时候从队尾加进去，逆排序的时候从队尾取出来。

首先是数据结构的表示。我用一个邻接表表示一个图。因为做拓扑排序的时候，我是通过将入度为0的点压入栈中，所以在邻接表的头部我记录了相关顶点的入度。

 

具体代码如下：

#include<stdio.h>

//邻接结点的ID及边上的权重。
typedef struct Node{
	int nodeID;
	int dut;
	struct Node* next;
}adjNode;

//表头，结点nodeID的入度，邻接结点
typedef struct{
	int indgr;
	int nodeID;
	adjNode* adj;
	adjNode* tail; //为方便加入新结点而设计的。
}vexNode;

void criticalPath( vexNode* g, int numP ){
	//data structure for calculation
	int* stack = (int*)malloc( sizeof(int)*numP );
	int front = 0, rear = -1;
	int* ve = (int*)malloc( sizeof(int)*numP );
	int* vl = (int*)malloc( sizeof(int)*numP );
	int i;
	for( i=0; i<numP; i++ )	
		if( g[i].indgr == 0 )	
			stack[++rear] = i;
	for( i=0; i<numP; i++ ) ve[i] = 0;
	while( rear>=front ){
		int j=stack[front++];
		adjNode* tmp;
		for( tmp=g[j].adj; tmp!=NULL; tmp=tmp->next ){
			(g[tmp->nodeID].indgr)--;
			if( g[tmp->nodeID].indgr == 0 )
				stack[++rear]=tmp->nodeID;
			//calculate the earliest start time
			if( ve[tmp->nodeID] < ve[j]+tmp->dut )
				ve[tmp->nodeID] = ve[j]+tmp->dut;
			}
		}
	if( rear < numP-1 ){
		printf( "circle in the graph\n" );
		return ;
	}
	
	//lastest start time
	for( i =0; i<numP; i++ )
		vl[i] = ve[numP-1];
	
	while( rear>=0 ){
		int j=stack[rear--];
		adjNode* tmp;
		for( tmp=g[j].adj; tmp!=NULL; tmp=tmp->next ){
			if( vl[j] > vl[tmp->nodeID] - tmp->dut )
				vl[j] = vl[tmp->nodeID] - tmp->dut;
			}
		}
		
	front = 0;
	rear = numP-1;
	//collect the critical tasks
	while( rear>=front ){
		int j=stack[front++];
		adjNode* tmp;
		for( tmp=g[j].adj; tmp!=NULL; tmp=tmp->next ){
			if( ve[j] == vl[tmp->nodeID]-tmp->dut )
				printf( "<%d, %d>\n", j, tmp->nodeID );
			}
		}
	free( stack );
 	free( ve );
 	free( vl );
}

main(){
	int verNum, actNum;
	int i;
	printf( "enter the number of vertices: " );
	scanf( "%d", &verNum );
	vexNode* g = (vexNode*)malloc( sizeof(vexNode)*verNum );
	//initialization
	for( i=0; i<verNum; i++ ){
		g[i].indgr = 0;
		g[i].nodeID = i;
		g[i].adj = NULL;
		g[i].tail = NULL;
	}
	printf( "\nhow many activities are there? " );
	scanf( "%d", &actNum );
	printf( "\nenter them in the form of | startNode endNode duration | one by one\n" );
	int tmpS, tmpE, tmpD;
	//construct the map for the project
	for( i=0; i<actNum; i++ ){
		scanf( "%d %d %d", &tmpS, &tmpE, &tmpD );
		(g[tmpE].indgr)++;
		adjNode* tmpN = (adjNode*) malloc( sizeof(adjNode) );
		tmpN->nodeID = tmpE;
		tmpN->dut = tmpD;
		tmpN->next = NULL;
		if( g[tmpS].tail == NULL ){
			g[tmpS].adj = tmpN;
			g[tmpS].tail = tmpN;
		}else{
			g[tmpS].tail->next = tmpN;
			g[tmpS].tail = tmpN;
		}
	}
	//search the critical path
	criticalPath( g, verNum );
}