八皇后问题

1.引子

中国有一句古话，叫做“不撞南墙不回头"，生动的说明了一个人的固执，有点贬义，但是在软件编程中，这种思路确是一种解决问题最简单的算法，它通过一种类似于蛮干的思路，一步一步地往前走，每走一步都更靠近目标结果一些，直到遇到障碍物，我们才考虑往回走。然后再继续尝试向前。通过这样的波浪式前进方法，最终达到目的地。当然整个过程需要很多往返，这样的前进方式，效率比较低下。

2.适用范围

适用于那些不存在简明的数学模型以阐明问题的本质，或者存在数学模型，但是难于实现的问题。

3.应用场景

在8*8国际象棋棋盘上，要求在每一行放置一个皇后，且能做到在竖方向，斜方向都没有冲突。国际象棋的棋盘如下图所示：

4.分析

基本思路如上面分析一致，我们采用逐步试探的方式，先从一个方向往前走，能进则进，不能进则退，尝试另外的路径。首先我们来分析一下国际象棋的规则，这些规则能够限制我们的前进，也就是我们前进途中的障碍物。一个皇后q(x,y)能被满足以下条件的皇后q(row,col)吃掉

1）x=row(在纵向不能有两个皇后)

2) y=col（横向）

3）col + row = y+x;（斜向正方向）

4) col - row = y-x;（斜向反方向）

遇到上述问题之一的时候，说明我们已经遇到了障碍，不能继续向前了。我们需要退回来，尝试其他路径。

我们将棋盘看作是一个8*8的数组，这样可以使用一种蛮干的思路去解决这个问题，这样我们就是在8*8=64个格子中取出8个的组合，C(64,80) = 4426165368,显然这个数非常大，在蛮干的基础上我们可以增加回溯，从第0列开始，我们逐列进行，从第0行到第7行找到一个不受任何已经现有皇后攻击的位置，而第五列，我们会发现找不到皇后的安全位置了，前面四列的摆放如下:

第五列的时候，摆放任何行都会上图所示已经存在的皇后的攻击，这时候我们认为我们撞了南墙了，是回头的时候了，我们后退一列，将原来摆放在第四列的皇后（3，4）拿走，从（3，4）这个位置开始，我们再第四列中寻找下一个安全位置为（7，4），再继续到第五列，发现第五列仍然没有安全位置，回溯到第四列，此时第四列也是一个死胡同了，我们再回溯到第三列，这样前进几步，回退一步，最终直到在第8列上找到一个安全位置（成功）或者第一列已经是死胡同，但是第8列仍然没有找到安全位置为止

总结一下，用回溯的方法解决8皇后问题的步骤为：

1）从第一列开始，为皇后找到安全位置，然后跳到下一列

2）如果在第n列出现死胡同，如果该列为第一列，棋局失败，否则后退到上一列，在进行回溯

3）如果在第8列上找到了安全位置，则棋局成功。

8个皇后都找到了安全位置代表棋局的成功，用一个长度为8的整数数组queenList代表成功摆放的8个皇后，数组索引代表棋盘的col向量，而数组的值为棋盘的row向

量，所以(row,col)的皇后可以表示为(queenList[col],col),如上图中的几个皇后可表示为：

queenList[0] = 0; queenList[1] = 3; queenList[2] = 1; queenList[3] = 4; queenList = 2;

我们看一下如何设计程序:

首先判断(row,col)是否是安全位置的算法：

bool IsSafe( int col, int row, int []queenList)
{
//只检查前面的列
for(inttempCol=0;tempCol<col;tempCol++)
{
inttempRow=queenList[tempCol];
if(tempRow==row)
{
//同一行
returnfalse;
}
if(tempCol==col)
{
//同一列
returnfalse;
}
if(tempRow-tempCol==row-col||tempRow+tempCol==row+col)
{
returnfalse;
}
}
returntrue;
}

设定一个函数，用于查找col列后的皇后摆放方法：

///<summary>
///在第col列寻找安全的row值
///</summary>
///<paramname="queenList"></param>
///<paramname="col"></param>
///<returns></returns>
public bool PlaceQueue( int []queenList, int col)
{
introw=0;
boolfoundSafePos=false;
if(col==8)//结束标志
{
//当处理完第8列的完成
foundSafePos=true;
}
else
{
while(row<8&&!foundSafePos)
{
if(IsSafe(col,row,queenList))
{
//找到安全位置
queenList[col]=row;
//找下一列的安全位置
foundSafePos=PlaceQueue(queenList,col+1);
if(!foundSafePos)
{
row++;
}
}
else
{
row++;
}
}
}
returnfoundSafePos;
}

调用方法：

static void Main( string []args)
{
EightQueeneq=newEightQueen();
int[]queenList=newint[8];
for(intj=0;j<8;j++)
{
Console.WriteLine("-----------------"+j+"---------------------");
queenList[0]=j;
boolres=eq.PlaceQueue(queenList,1);

if(res)
{
Console.Write("");
for(inti=0;i<8;i++)
{
Console.Write(""+i.ToString()+"");
}
Console.WriteLine("");
for(inti=0;i<8;i++)
{
Console.Write(""+i.ToString()+"");
for(inta=0;a<8;a++)
{
if(i==queenList[a])
{
Console.Write("q");
}
else
{
Console.Write("*");
}
}
Console.WriteLine("");

}

Console.WriteLine("---------------------------------------");
}
else
{
Console.WriteLine("不能完成棋局，棋局失败！");
}
}
Console.Read();
}

递归算法PlaceQueue,完成这样的功能：它寻找第col列后的皇后的安全摆放位置，如果该函数返回了false,表示当前进入了死胡同，需要进行回溯，直到为0-7列都找

到了安全位置或者找遍这些列都找不到安全位置的时候终止。

用递归算法解决8皇后问题的示例程序：

/Files/jillzhang/EightQueens.rar

欢迎大家下载；

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递归算法到这篇为止，已经学习到了分而治之，动态编程，回溯等重要思想，也用这些问题解决了一些具体问题，比如排序，背包，8皇后问题等，通过对理论的学习

和对实际问题的解决，充分理解递归算法的使用方法。