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最新推荐文章于 2015-03-20 16:43:00 发布

iteye_14832

最新推荐文章于 2015-03-20 16:43:00 发布

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂解决复杂数学问题的方法，并通过一个具体的例子详细展示了如何利用矩阵运算来高效求解斐波那契数列及后续的根号表达式。此方法结合了矩阵乘法和快速幂技巧，适用于需要大量重复计算的场景。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

做完这题后感觉矩阵超级好用。

用了两次矩阵，一次是在求斐波那契数列时，还有就是求后面的根号式。

前面的两个式子直接二分幂就行。

对于后面的式子，首先F[n]可以用快速幂求解，同时利用费马小定理，每次计算都对（p-1）取余，这些都不是问题。

接下来是关键，首先引用下大神的图

所以我们其实只要求2Xn。

建个矩阵array[2][2]={a+b,2,

(2*a*b)%p,a+b}

所以事实上就是求array的（F[n]mod（p-1））次方，再对求出来的矩阵的第0行，第0个数乘以二再mod p就得到后面部分的值。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define LL long long
long long p,a,b,n;
struct node
{
	long long array[2][2];
};
long long qiumi(long long cur,long long s)//二分幂
{
   long long ans=1;
   while(s>0)
   {
	   if(s&1)ans*=cur;
	   cur*=cur;
	   s/=2;
	   cur%=p;
	   ans%=p;
   }
   return ans;
}
node calcu(node a,node b,int mod)//矩阵乘法
{
	int i,j,k;
	node ans;
	for(i=0;i<2;i++)
	for(j=0;j<2;j++)
	{
        ans.array[i][j]=0;
		for(k=0;k<2;k++)
			ans.array[i][j]+=a.array[i][k]*b.array[k][j];
		ans.array[i][j]=ans.array[i][j]%mod;
	}
	return ans;
}
long long zhishu(long long s)//求F[s]的值
{
	if(s==0)return 1;
	s--;
	node tmp,ans;
	int i,j,k;
	tmp.array[0][0]=1;ans.array[0][0]=1;
	tmp.array[0][1]=1;ans.array[0][1]=0;
	tmp.array[1][0]=1;ans.array[1][0]=0;
	tmp.array[1][1]=0;ans.array[1][1]=1;
	while(s>0)
	{
		if(s&1)ans=calcu(ans,tmp,p-1);
		tmp=calcu(tmp,tmp,p-1);
		s/=2;
	}
	return (ans.array[0][0]+ans.array[0][1])%(p-1);
}
long long fbnq(long long s)//求后面的值
{
	node tmp,ans;
	int i,j,k;
	tmp.array[0][0]=(a+b)%p;ans.array[0][0]=1;
	tmp.array[0][1]=2;ans.array[0][1]=0;
	tmp.array[1][0]=(2*a*b)%p;ans.array[1][0]=0;
	tmp.array[1][1]=(a+b)%p;ans.array[1][1]=1;
	while(s>0)//矩阵链乘二分幂
	{
		if(s&1)ans=calcu(ans,tmp,p);
		tmp=calcu(tmp,tmp,p);
		s/=2;
	}
	return ans.array[0][0];
}
int main()
{
    int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		 scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&n,&p);
		 if(p==1)
         {
         	printf("0\n");
         	continue;
         }
         long long ans;
         ans=(qiumi(a,(p-1)/2)+1)*(qiumi(b,(p-1)/2)+1)%p;
         //printf("ans=%I64d\n",ans);
         long long tmp=zhishu(n);
         //printf("tmp=%I64d\n",tmp);
         long long ss=2*fbnq(tmp)%p;
         //printf("ss=%I64d\n",ss);
         printf("%I64d\n",ans*ss%p);
	}
	return 0;
}