谓词逻辑之 量词等价

前面我们说过 “不是所有的鸟都会飞”用谓词逻辑表示有两种方式：

B（x）：x是一只鸟

F（x）：x可以飞翔

这个语句就可以编码为：﹁(∀xB(x)→ F(x))

换而言之“只要是鸟就会飞，这种情况是不成立的”，上句话也可以编码为：∃ x(B(x) ∧﹁F(x) )

所以可知，在某些量词形式之间存在着语义的等价。本节就对其中的一些最常见和最常用的量词等价给出证明。

 

定理： 设Φ和Ψ是谓词逻辑公式，则具有下面的等价关系：

1.(a) ┐∀xΦ⇔∃x┐Φ

   (b) ┐∃xΦ⇔∀x┐Φ

这两条比较好理解。

2.假设x在Ψ中不是自由的，那么：