N阶行列式计算(JAVA)

这篇博客介绍了如何使用JAVA编程实现N阶行列式的计算,欢迎学习交流,并提出宝贵意见。

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package gaodai;

import java.util.List;

/**
 * N阶行列式计算
 * @author 邱万迟
 *
 */
public class DeterminantCalculation {
	
	public DeterminantCalculation(List<List<Double>> determinant){
		this.determinant = determinant;
		this.sign = 1;
	}
	
	private List<List<Double>> determinant;
	private int sign;
	private int caculateTimes;
	
	/**
	 * 转置
	 */
	public void transpose(){
		int lineNum = determinant.size();
		int columnNum = determinant.get(0).size();
		for(int i = 0; i < lineNum; i++){
			for(int j = i; j < columnNum; j++){
				double t = determinant.get(i).get(j);
				determinant.get(i).set(j,determinant.get(j).get(i));
				determinant.get(j).set(i,t);
			}
		}
	}
	
	/**
	 * 获取行列式的值
	 * @return
	 */
	public double getValue(){
		double temp = 1.0;
		for(int i = 0; i < determinant.size(); i++){
			temp *= determinant.get(i).get(i);
		}
		return Math.round((temp * getSign()) * 100)/100.0;
	}

	/**
	 * a行与b行互换(两行互换)
	 * @param determinant 行列式
	 * @param a 行号
	 * @param b 行号
	 * @throws Exception 
	 */
	public void changeLine(int a,int b) throws Exception{
		if(a < 1 || a > determinant.size() || b < 1 || b > determinant.size()){
			throw new Exception("输入的行号不合法");
		}
		List<Double> aLine = determinant.get(a - 1);
		List<Double> bLine = determinant.get(b - 1);
		
		determinant.set(a - 1, bLine);
		determinant.set(b - 1, aLine);
		changeSign();
		System.out.println("第" + a + "行与" + b + "行互换");
	}
	
	/**
	 * 两列互换
	 * @param a
	 * @param b
	 * @throws Exception 
	 */
	public void changeColumn(int a,int b) throws Exception{
		if(a < 1 || a > determinant.get(0).size() || b < 1 || b > determinant.get(0).size()){
			throw new Exception("输入的列号不合法");
		}
		
		for(int i = 0; i < determinant.size(); i++){
			double temp = determinant.get(i).get(a - 1);
			determinant.get(i).set(a - 1,determinant.get(i).get(b - 1));
			determinant.get(i).set(b - 1,formateDouble(temp));
		}
		changeSign();
	}
	
	/**
	 * a行加到b行上
	 * @param a
	 * @param b
	 * @throws Exception 
	 */
	public void lineAdd2OtherLine(int a, int b) throws Exception{
		lineMultiplyNumAdd2OtherLine(1, a, b);
	}
	
	/**
	 * 第a行乘以number 加到第b行上
	 * @param number 乘以的数
	 * @param a行号
	 * @param b行号
	 * @throws Exception 
	 */
	public void lineMultiplyNumAdd2OtherLine(double number,int a, int b) throws Exception{
		if(a < 1 || a > determinant.size() || b < 1 || b > determinant.size()){
			throw new Exception("输入的行号不合法");
		}
		List<Double> aLine = determinant.get(a - 1);
		List<Double> bLine = determinant.get(b - 1);
		
		for(int i = 0; i < bLine.size(); i++){
			double temp = bLine.get(i) + aLine.get(i) * number;
			bLine.set(i, formateDouble(temp));
		}
		System.out.println("第" + a + "行乘以" + number + "加到第" + b + "行:");
		print();
	}
	
	public double formateDouble(double data){
		return Math.round(data * 10000000000L)/10000000000.0;
	}
	
	/**
	 * a列加到b列
	 * @param a
	 * @param b
	 */
	public void columnAdd2OtherColumn(int a, int b){
		columnMultiplyNumAdd2OtherColumn(1, a, b);
	}
	
	/**
	 * 第a列乘以number 加到第b列上
	 * @param number 乘以的数
	 * @param a行号
	 * @param b行号
	 */
	public void columnMultiplyNumAdd2OtherColumn(double number,int a, int b){
		for(int i = 0; i < determinant.size(); i++){
			double temp = determinant.get(i).get(b - 1) + determinant.get(i).get(a - 1) * number;
			determinant.get(i).set(b - 1, temp);
		}
	}
	
	/**
	 * 校验是否是上三角,不是就的继续计算
	 * @return
	 */
	public boolean isCaculate(){
		boolean hasCaculate = false;
		for(int i = 0; i < determinant.size(); i++){
			for(int j = 0; j < i; j++){
				if(determinant.get(i).get(j) != 0.0){
					System.out.println("(" + (i + 1) + "," + (j + 1) + ")元素值不为零");
					hasCaculate = true;
					break;
				}
			}
			if(hasCaculate){
				break;
			}
		}
		//System.out.println("isUpperTriangle?>>>>>>>>>>>" + hasCaculate);
		return hasCaculate;
	}
	
	/**
	 * @throws Exception 
	 * 变为上三角
	 * @throws  
	 */
	public void chang2UpperTriangle() throws Exception{
		
		if(!isCaculate()){
			return;
		}
		caculateTimes++;
		System.out.println("----------------------------------第" + caculateTimes + "次计算----------------------------------");
		for(int i = 0; i < determinant.size(); i++){
			for(int j = i + 1; j < determinant.size(); j++){
				if(determinant.get(i).get(i) == 0){//每一行在对角线上元素是零就互换行
					
					changeLine(i + 1, j + 1);
					
					print();
					continue;
				}
				double multiplyNum = -1 * determinant.get(j).get(i) / determinant.get(i).get(i);
				if(multiplyNum == 0){
					continue;
				}
				this.lineMultiplyNumAdd2OtherLine(multiplyNum, (i + 1), (j + 1));
				
			}
		}
		print();
		chang2UpperTriangle();
	
	}
	
	/**
	 * 获取a行b列元素所在的下一个非零元素所在的行
	 * @param a
	 * @param b
	 */
	public int getNotZeroLineByColumn(int a,int b){
		for(int i = a + 1; i < determinant.size(); i++){
			if(determinant.get(i).get(b) != 0){
				return i;
			}
		}
		return 0;
	}
	
	/**
	 * 改变符号
	 */
	private void changeSign(){
		this.sign = this.sign * -1;
	}
	
	public void print(){
		int i = 0,j = 0;
		for(List<Double> line : determinant){
			for(double element : line){
				System.out.print(element);
				//System.out.print(Math.round(element*100)/100.0);
				System.out.print("(" + i + "," + j + ")  ");
				System.out.print("  ");
				j++;
			}
			System.out.println();
			i++;
			j = 0;
		}
		System.out.println();
	}
	
	public List<List<Double>> getDeterminant() {
		return determinant;
	}


	public void setDeterminant(List<List<Double>> determinant) {
		this.determinant = determinant;
	}

	public int getSign() {
		return sign;
	}
}

 

package gaodai;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;

import org.apache.commons.lang.StringUtils;

public class Test {

	public static void main(String[] args) {
		int lineNum = 0;
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		
		boolean flag = true;
		System.out.println("请输入行列式的阶数,系统会随机生成行列式里的数:");
		while(flag){ 
			String num = scanner.next();
			if(StringUtils.isNotBlank(num)){
				try {
					lineNum = Integer.valueOf(num);
				} catch (Exception e) {
					lineNum = 0;
				}
				if(lineNum < 1){
					System.out.println("请重新输入(需是整数且大于零)");
				}else{
					flag = false;
				}
				
			}else{
				System.out.println("请重新输入(需是整数且大于零)");
			}
		}
		int columnNum = lineNum;
		
		List<List<Double>> result = new ArrayList<List<Double>>();
		for(int i = 0; i < lineNum; i++){
			List<Double> temp = new ArrayList<Double>();
			
			for(int j = 0; j < columnNum; j++){
				temp.add((double) (int)(Math.random()*10 + 1));
			}
			
			result.add(temp);
		}
		DeterminantCalculation determinant = new DeterminantCalculation(result);
		System.out.println("初始化行列式:");
		determinant.print();
		
		determinant.transpose();
		
		determinant.print();
		try {
			determinant.chang2UpperTriangle();
		} catch (Exception e) {
			e.printStackTrace();
		}
		determinant.print();
		
		System.out.println("行列式值为:" + determinant.getValue());
		
	}
	
}

 

JAVA实现的N阶行列式计算,一起分享学习,有不足之处还望指正批评。

 

 

<think>首先,用户的问题是基于给定的引用和之前的系统指令。回顾对话历史:-系统指令要求:-所有行内数学表达式用`$...$`,例如:`$x^2$`。-独立公式用`$$...$$`单独成段。-正确使用LaTeX语法。-用中文回答。-生成相关问题。-引用的段落末尾添加引用标识,例如:[^1]。-用户之前的消息:-用户询问“n行列式的详细解释和方法”,特别强调了“数学算法行列式计算方法”。-提供了三个引用:-[^1]:讨论四行列式计算,指出不能简单地用对角线法则,提到了多种计算方法如定义法、化三角形法、按行展开法等。-[^2]:讨论了利用分块矩阵计算行列式的方法。-[^3]:提到了递归算法求解n行列式,用Java实现。用户当前的问题是:“我想查找关于计算n行列式的详细解释和方法请问如何详细计算n行列式数学算法行列式计算方法”因此,我需要提供详细的解释和计算方法来计算n行列式。我应该参考用户提供的引用内容,因为它们提供了线索,比如:-[^1]提到了多种方法。-[^2]提到了分块矩阵方法。-[^3]提到了递归算法(可能是按行展开或余子式的方法)。系统指令还要求在回答中引用的段落末尾添加引用标识,例如:[^1]。所以我需要在适当的地方引用这些引用。此外,指令要求生成相关问题,所以在回答结束时,我需要添加一个“相关问题”部分,类似示例中的格式。现在,规划我的回答结构:-回答应结构化,逐步解释计算n行列式的方法。-使用中文。-数学表达式正确格式化:-行内用`$...$`,例如:对于行列式定义为`$\det(A)=\sum_{\sigma\inS_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)}$`。-独立公式用`$$...$$`,例如:拉普拉斯展开。关键方法,基于知识:1.**定义法**:使用排列和符号的定义计算。但时间复杂度高,不实用。2.**按行()展开(拉普拉斯展开)**:递归方法,将n行列式(n-1)。3.**行变换法**:通过初等行变换化矩阵为上三角矩阵,然后求对角线的积。4.**其他方法**:如分块矩阵、利用特殊矩阵公式等。用户引用的内容:-[^1]提到:定义法、对角线法(对于低)、化三角形法、按行展开、递推法、加边法、拆行法、数学归纳法、析因法、辅助行列式、拉普拉斯定理、范德蒙行列式、矩阵行列式公式、方阵特征。-[^2]专门讲分块矩阵用于四行列式。-[^3]讨论递归算法。所以,在回答中,我可以突出以下方法:-行变换法(化三角形法):高效且常用。-按行展开法:递归实现。-其他方法简要提及。解释步骤:1.**介绍行列式概念**:简短定义。2.**详细方法**:-**按行()展开法**:解释拉普拉斯展开。-公式:`$$\det(A)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}$$`对于固定行i。-然后递归计算余子式。-参考[^3]的递归算法。-**初等行变换法**:-解释如何通过行交换、行加法和缩放化为上三角或对角线矩阵。-行列式等于对角线元素的积(如果化成了对角矩阵)。-由于变换不影响行列式,只考虑行交换时的符号变化。-**分块矩阵法**:当矩阵可以分块时使用,参考[^2]。适用于某些特殊结构。3.**讨论复杂度**:n!vsO(n^3)等。4.**示例**:可能需要一个简单的例子,如计算3行列式,然后扩展到n。-但n较抽象,所以用符号表示。使用LaTeX:-行内:`$a_{ij}$`-独立:```latex$$\det(A)=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$$$添加引用:-当提到特定方法时,引用到用户提供的引用。-例如,提到“按行展开法”时,引用[^1]或[^3]。最后,生成相关问题:-基于行列式计算的相关问题。-例如:1.如何用行变换计算行列式?2.递归算法的实现细节是什么?3.哪些软件库可用于计算大型矩阵的行列式?回答结构:-**引言**:解释n行列式的重要性。-**计算方法详细解释**:-方法1:按行展开(递归)。-方法2:初等行变换。-方法3:其他方法简要。-**总结与建议**:哪个方法更高效。-**相关问题**:列出3-5个相关问题。确保答案真实可靠:基于数学知识。</think> ### 计算n行列式的详细解释与方法 行列式是线性代数中的核心概念,用于描述方阵的性质,如可逆性、特征等。对于 $n \times n$ 矩阵 $A = (a_{ij})$,其行列式记为 $\det(A)$ 或 $|A|$。计算 $n$ 行列式的方法多种多样,但其核心是利用数学算法将问题简化。依据您提供的引用内容,我将参考常见方法(如引用[^1]提到的定义法、按行展开法和行变换法,引用[^3]提到的递归算法),详细解释计算过程。重点是数学算法和计算逻辑,而非编程实现。下面,我将逐步说明主要方法,包括定义、步骤、复杂度和示例,确保内容实用易懂。 #### 1. **行列式的基本概念** 行列式定义为所有置换的乘积和: $$ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)} $$ 其中: - $S_n$ 是 $n$ 置换群,$\operatorname{sgn}(\sigma)$ 是置换 $\sigma$ 的符号(正1或负1)。 - 此定义法完整但计算量为 $O(n!)$,仅适用于小型 $n$,不适合实际算法。对于高行列式(如 $n \geq 4$),需用高效算法如按行展开或行变换法[^1]。 #### 2. **核心计算方法** 以下是针对 $n$ 行列式的三种主要算法,按实用性和效率排序。 **方法1: 按行()展开法 (拉普拉斯展开法)** - **原理**:将 $n$ 行列式为 $(n-1)$ 行列式计算,采用递归策略(即引用[^3]提到的递归算法)。固定一行 $i$ 或一列 $j$,利用余子式 $M_{ij}$(即删除第 $i$ 行第 $j$ 列后的子矩阵行列式)和代数余子式 $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$: $$ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} \quad \text{(固定行 } i\text{)} $$ 此公式允许递归计算,直到降至2或3行列式(可用简单公式如 $\det \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$)。 - **步骤**: 1. 选择一个行或列(通常选零元素多的以减少计算量)。 2. 对于该行中的每个元素 $a_{ij}$,计算其代数余子式 $C_{ij}$。 3. 递归计算余子式 $M_{ij}$(即 $(n-1)$ 行列式)。 4. 求和:$\det(A) = \sum_{j} a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij}$。 5. 递归基准:当 $n=1$ 时,$\det(A) = a_{11}$;$n=2$ 时,$\det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$。 - **复杂度**:$O(n!)$ 的最坏情况(因递归树大小),但通过优化(如缓存中间结果)可降至 $O(2^n)$。对于稀疏矩阵较好,但对于大型 $n$ 效率不高。 - **示例(计算3行列式)**:设 $A = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{vmatrix}$。固定第1行: - $j=1$: $a_{11}=1$,$C_{11}=(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{vmatrix} = 1 \cdot (4\cdot6 - 5\cdot0) = 24$ - $j=2$: $a_{12}=2$,$C_{12}=(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (0\cdot6 - 5\cdot1) = 5$ - $j=3$: $a_{13}=3$,$C_{13}=(-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0\cdot0 - 4\cdot1) = -4$ - $\det(A) = 1 \cdot 24 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot (-4) = 24 + 10 - 12 = 22$。 - **扩展到 $n$ **:递归调用相同逻辑,每次降[^3]。 **方法2: 初等行变换法 (化三角形法)** - **原理**:通过初等行变换将矩阵化为上三角矩阵(或对角矩阵),行列式等于对角线元素的积(考虑行交换带来的符号变化)。初等行变换包括: - 行交换:改变符号 $\det \rightarrow -\det$。 - 行倍数缩放:$\det \rightarrow k \det$($k$ 缩放因子)。 - 行加法:不改变 $\det$(即行 $R_i \rightarrow R_i + k R_j$)。 最终,上三角矩阵的行列式为: $$ \det(A) = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} $$ 此法高效,适用于任意 $n$,是数计算的标准方法(如引用[^1]提到的化三角形法)[^1]。 - **步骤**: 1. 初等行变换:使用高斯消元法,逐步将矩阵转换为上三角形式。 2. 记录变换:记录行交换次数 $k$(符号变化 $(-1)^k$)和缩放因子 $c$(如果缩放行)。 3. 计算对角线乘积:$\det(A) = (-1)^k \prod_{i=1}^{n} a_{ii}$($a_{ii}$ 是变换后对角线元素)。 4. 优化:部分主元选择以减少数误差。 - **复杂度**:$O(n^3)$,远优于递归方法,适用于大型 $n$(如 $n > 100$)。 - **示例(计算4行列式)**:设 $A = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$。 - 步骤1: 行交换 $R_1 \leftrightarrow R_2$ (符号变化,故 $\det \rightarrow -\det$),得到 $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$。 - 步骤2: $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$,$R_4 \rightarrow R_4 - R_1$:矩阵变为 $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & -2 & 0 \end{vmatrix}$。 - 步骤3: $R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2$,$R_4 \rightarrow R_4 - 2R_2$:矩阵化为上三角 $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{vmatrix}$。 - 对角线乘积:$1 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 8 = 32$。由于一次行交换,符号为 $-1$,故 $\det(A) = -32$。 - 此方法适用于任意 $n$ ,包括引用[^1]强调的四以上行列式[^1]。 **方法3: 其他高级方法(简要说明)** - **分块矩阵法**:当矩阵可分区为子块时使用(引用[^2]讨论的四行列式示例)。例如,若 $A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}$,则 $\det(A) = \det(A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21})$(仅当子块可交换)。适用于结构化矩阵。 - **特殊矩阵公式**:对于特定矩阵,直接应用公式: - Vandermonde行列式:$\det(V) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$。 - 对角矩阵:$\det = \prod a_{ii}$。 - **数方法**:在软件中,使用LU分解或特征计算(引用[^1]提到的方阵特征法),$\det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$。 - 这些方法作为辅助,在特定场景有效,但行变换法是通用首选[^1][^2]。 #### 3. **方法选择与建议** - **$n$ 的大小**: - $n \leq 3$:用定义或简单展开。 - $n \geq 4$:首选行变换法($O(n^3)$ 复杂度),避免递归的低效。 - 大型 $n$(如 $n > 100$):使用数库(如Python的NumPy),基于LU分解实现。 - **算法可靠性**:行变换法稳定且通用;按行展开法易实现但慢。引用[^1]强调,高行列式不能用对角线法则[^1]。 - **注意事项**: - 确保矩阵为方阵(非方阵无行列式)。 - 行列式为零时表示矩阵不可逆。 - 在编程中,递归算法可用memoization优化,但优先选择迭代行变换。 #### 4. **相关问题**
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