编程之美 中国象棋将帅问题 的再进一步讨论

今天开始翻看编程之美，书真的很不错，

比如问题1.2 中国象棋将帅问题，初看似乎很简单，但是只需使用一个变量的设定，顿时让此题熠熠生辉，

对有挑战心的程序员来说，立刻从成都小吃变成了俏江南，呵呵

首先不自量力的简评一下解法1和解法3，

解法1过于繁琐，好吧我承认对于解法1我压根就没有仔细看，因为我深信有更简单的解法，

解法3则有点邪道攻略的意思了，能用struct的，那我还用class呢！当然域限定符的使用有点意思的。

和书中提供的薛笛同学的blog所见略同，最高的无疑是解法2，真正的重剑无锋大巧不工，简单而复杂，复杂而简单！

原文见：http://blog.youkuaiyun.com/kabini/archive/2008/04/07/2256421.aspx

在此篇blog中，薛笛同学对此解法做了深入的阐述和分析，并进一步分析出了3重循环公式、4重循环公式，

最后指出了“N重循环原理也是一样”。

不过对于循环展开公式部分的推导，个人觉得实际上并不需要一重一重的去分析，任意重循环的展开公式是可以递归实现的，

可以用递归来无限展开。本文的目的就是分析探讨N重循环展开的算法实现。

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首先，我们归纳总结一下展开原理，

对于 a*b = i ，我们可以用如下公式展开

loop1=i%b;
loop2=(i/b)%a

其中loop1是内层循环，loop2是外层循环

那么如果 a 本身就是 k*j 组成的呢？

由于k*j = i/b ，套用公式得到

loop1= (i/b)%j

loop2= ((i/b)/j)%k

由此可以得出N重时的公式,假设 an * a(n-1) * ....... * a3 * a2 * a1 = N

loop1=N%a1

loop2=(N/(a1))%a2

loop3=(N/(a1a2))%a3

.....

loopN=(N/(a1.....an))%an

则对于给定的 an * a(n-1) * ....... * a3 * a2 * a1 = N ，展开式是 ( Nzk 意思是N的展开 )

Nzk = (N/(a1.....an))%an + " , "+ .....(N/(a1a2))%a3 + " , " + (N/(a1))%a2 + " , " + N%a1

得出

Nzk = ((N/(a1.....an))%an + " , "+ .....(N/(a1a2))%a3 + " , " + (N/(a1))%a2 )+ " , " + N%a1

得出

Nzk =(an * a(n-1) * ....... * a3 * a2)zk + " , " + N%a1

得出

Nzk = (N/a1)zk + " , " + N%a1

至此得出了递归公式，

N的展开式=（N/（N的最后一个因数）） 的展开式 + （ N 模（N的最后一个因数））

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既然有了递归公式，那么实现算法就相当简单了吧

我用java实现的代码如下：

import java.util.ArrayList; public class ChiChess { static void singleLineLoop(ArrayList<Integer> args,int amount){ //如果数组只剩一个元素，则已经到了an , 用 amount % an 即可， //因为 amount 就是 (N/(a1.....an) if (args.size() == 1){ System.out.print("" + (amount%args.get(0)) + "/n"); return; } //输出当前数组的最后一个元素 System.out.print("" + ((amount%args.get(args.size()-1))) + " , " ); //继续递归调用 singleLineLoop(new ArrayList(args.subList(0, args.size()-1)),amount/args.get(args.size()-1)); } static void multiLoop(ArrayList<Integer> args,int amount){ while(amount-->0){ System.out.print("var (" + amount +") :" ); // N%a1部分 System.out.print("" + ((amount%args.get(args.size()-1))) + " , " ); //递归实现(N/a1)zk singleLineLoop(new ArrayList(args.subList(0, args.size()-1)),amount/args.get(args.size()-1)); } } /** * @param args */ public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub ArrayList<Integer> li = new ArrayList<Integer>(); li.add(2); li.add(3); li.add(4); li.add(5); int amount = 2*3*4*5; multiLoop(li,amount); } }

使用薛笛同学的数据测试一下

也就是上述代码中的

li.add(2);
li.add(3);
li.add(4);
li.add(5);

得出结果

var (119) :4 , 3 , 2 , 1 var (118) :3 , 3 , 2 , 1 var (117) :2 , 3 , 2 , 1 var (116) :1 , 3 , 2 , 1 var (115) :0 , 3 , 2 , 1 var (114) :4 , 2 , 2 , 1 var (113) :3 , 2 , 2 , 1 var (112) :2 , 2 , 2 , 1 var (111) :1 , 2 , 2 , 1 var (110) :0 , 2 , 2 , 1 var (109) :4 , 1 , 2 , 1 var (108) :3 , 1 , 2 , 1 var (107) :2 , 1 , 2 , 1 var (106) :1 , 1 , 2 , 1 var (105) :0 , 1 , 2 , 1 var (104) :4 , 0 , 2 , 1 var (103) :3 , 0 , 2 , 1 var (102) :2 , 0 , 2 , 1 var (101) :1 , 0 , 2 , 1 var (100) :0 , 0 , 2 , 1 var (99) :4 , 3 , 1 , 1 var (98) :3 , 3 , 1 , 1 var (97) :2 , 3 , 1 , 1 var (96) :1 , 3 , 1 , 1 var (95) :0 , 3 , 1 , 1 var (94) :4 , 2 , 1 , 1 var (93) :3 , 2 , 1 , 1 var (92) :2 , 2 , 1 , 1 var (91) :1 , 2 , 1 , 1 var (90) :0 , 2 , 1 , 1 var (89) :4 , 1 , 1 , 1 var (88) :3 , 1 , 1 , 1 var (87) :2 , 1 , 1 , 1 var (86) :1 , 1 , 1 , 1 var (85) :0 , 1 , 1 , 1 var (84) :4 , 0 , 1 , 1 var (83) :3 , 0 , 1 , 1 var (82) :2 , 0 , 1 , 1 var (81) :1 , 0 , 1 , 1 var (80) :0 , 0 , 1 , 1 var (79) :4 , 3 , 0 , 1 var (78) :3 , 3 , 0 , 1 var (77) :2 , 3 , 0 , 1 var (76) :1 , 3 , 0 , 1 var (75) :0 , 3 , 0 , 1 var (74) :4 , 2 , 0 , 1 var (73) :3 , 2 , 0 , 1 var (72) :2 , 2 , 0 , 1 var (71) :1 , 2 , 0 , 1 var (70) :0 , 2 , 0 , 1 var (69) :4 , 1 , 0 , 1 var (68) :3 , 1 , 0 , 1 var (67) :2 , 1 , 0 , 1 var (66) :1 , 1 , 0 , 1 var (65) :0 , 1 , 0 , 1 var (64) :4 , 0 , 0 , 1 var (63) :3 , 0 , 0 , 1 var (62) :2 , 0 , 0 , 1 var (61) :1 , 0 , 0 , 1 var (60) :0 , 0 , 0 , 1 var (59) :4 , 3 , 2 , 0 var (58) :3 , 3 , 2 , 0 var (57) :2 , 3 , 2 , 0 var (56) :1 , 3 , 2 , 0 var (55) :0 , 3 , 2 , 0 var (54) :4 , 2 , 2 , 0 var (53) :3 , 2 , 2 , 0 var (52) :2 , 2 , 2 , 0 var (51) :1 , 2 , 2 , 0 var (50) :0 , 2 , 2 , 0 var (49) :4 , 1 , 2 , 0 var (48) :3 , 1 , 2 , 0 var (47) :2 , 1 , 2 , 0 var (46) :1 , 1 , 2 , 0 var (45) :0 , 1 , 2 , 0 var (44) :4 , 0 , 2 , 0 var (43) :3 , 0 , 2 , 0 var (42) :2 , 0 , 2 , 0 var (41) :1 , 0 , 2 , 0 var (40) :0 , 0 , 2 , 0 var (39) :4 , 3 , 1 , 0 var (38) :3 , 3 , 1 , 0 var (37) :2 , 3 , 1 , 0 var (36) :1 , 3 , 1 , 0 var (35) :0 , 3 , 1 , 0 var (34) :4 , 2 , 1 , 0 var (33) :3 , 2 , 1 , 0 var (32) :2 , 2 , 1 , 0 var (31) :1 , 2 , 1 , 0 var (30) :0 , 2 , 1 , 0 var (29) :4 , 1 , 1 , 0 var (28) :3 , 1 , 1 , 0 var (27) :2 , 1 , 1 , 0 var (26) :1 , 1 , 1 , 0 var (25) :0 , 1 , 1 , 0 var (24) :4 , 0 , 1 , 0 var (23) :3 , 0 , 1 , 0 var (22) :2 , 0 , 1 , 0 var (21) :1 , 0 , 1 , 0 var (20) :0 , 0 , 1 , 0 var (19) :4 , 3 , 0 , 0 var (18) :3 , 3 , 0 , 0 var (17) :2 , 3 , 0 , 0 var (16) :1 , 3 , 0 , 0 var (15) :0 , 3 , 0 , 0 var (14) :4 , 2 , 0 , 0 var (13) :3 , 2 , 0 , 0 var (12) :2 , 2 , 0 , 0 var (11) :1 , 2 , 0 , 0 var (10) :0 , 2 , 0 , 0 var (9) :4 , 1 , 0 , 0 var (8) :3 , 1 , 0 , 0 var (7) :2 , 1 , 0 , 0 var (6) :1 , 1 , 0 , 0 var (5) :0 , 1 , 0 , 0 var (4) :4 , 0 , 0 , 0 var (3) :3 , 0 , 0 , 0 var (2) :2 , 0 , 0 , 0 var (1) :1 , 0 , 0 , 0 var (0) :0 , 0 , 0 , 0

完全正确 ^_^