单调队列应用

题目大意:给出一个有N个数字(-1000..1000,N<=10^5)的环状序列,让你求一个和最大的连续子序列。这个连续子序列的长度小于等于K。
分析:因为序列是环状的,所以可以在序列后面复制一段(或者复制前k个数字)。如果用s[i]来表示复制过后的序列的前i个数的和,那么任意一个子序列[i..j]的和就等于s[j]-s[i-1]。对于每一个j,用s[j]减去最小的一个s[i](i>=j-k+1)就可以得到以j为终点长度不大于k的和最大的序列了。将原问题转化为这样一个问题后,就可以用单调队列解决了。

单调队列即保持队列中的元素单调递增(或递减)的这样一个队列,可以从两头删除,只能从队尾插入。单调队列的具体作用在于,由于保持队列中的元素满足单调性,对于上述问题中的每个j,可以用O(1)的时间找到对应的s[i]。(保持队列中的元素单调增的话,队首元素便是所要的元素了)。

维护方法:对于每个j,我们插入s[j-1](为什么不是s[j]? 队列里面维护的是区间开始的下标,j是区间结束的下标),插入时从队尾插入。为了保证队列的单调性,我们从队尾开始删除元素,直到队尾元素比当前需要插入的元素优(本题中是值比待插入元素小,位置比待插入元素靠前,不过后面这一个条件可以不考虑),就将当前元素插入到队尾。之所以可以将之前的队列尾部元素全部删除,是因为它们已经不可能成为最优的元素了,因为当前要插入的元素位置比它们靠前,值比它们小。我们要找的,是满足(i>=j-k+1)的i中最小的s[i],位置越大越可能成为后面的j的最优s[i]。

在插入元素后,从队首开始,将不符合限制条件(i>=j-k+1)的元素全部删除,此时队列一定不为空。(因为刚刚插入了一个一定符合条件的元素)

<think>嗯,用户想了解单调队列应用场景和示例算法。首先,我需要回忆一下单调队列的基本概念。根据之前的引用资料,单调队列是一种保持元素单调递增或递减的队列,常用于解决滑动窗口问题。比如引用[4]提到,单调队列可以处理滑动窗口的一系列问题,比如最大值或最小值。 接下来,用户需要具体的应用场景和示例算法。我记得滑动窗口中的最大值是一个典型例子,比如LeetCode中的题目。例如,引用[3]提到了一个子序列的问题,可能涉及窗口内的最大值或最小值。此外,引用[1]提到计算子数组的最小值之和,这可能需要用单调栈,但或许单调队列也能在某些情况下使用,不过需要确认两者的区别。根据引用[1]和[4],单调队列更适合滑动窗口的动态维护,而单调栈可能更适用于静态的问题,比如找到下一个更大元素。 然后,用户可能需要算法实现的例子。比如,滑动窗口最大值可以用单调队列来高效解决,每次窗口移动时维护队列的单调递减性,确保队首是当前窗口的最大值。另外,还有可能的应用如最小子数组和的问题,或者动态规划中的优化,比如在引用[2]中提到的优先队列和堆的关系,但这里需要区分优先队列和单调队列的不同应用场景。 需要确保回答中给出具体的场景,比如滑动窗口最大值、最小值统计、特定条件下的子数组问题等。每个场景最好有一个算法示例,如代码片段,并解释其工作原理。同时,要引用相关的资料,比如引用[4]说明滑动窗口的应用,引用[1]可能关联到子数组的问题,但要注意准确对应。 还要注意用户可能混淆单调队列和单调栈,需要简要说明两者的区别。例如,单调队列支持两端操作,适合动态窗口,而单调栈通常用于一端操作的问题。 最后,生成相关问题时要围绕应用场景、算法实现、与其他数据结构的对比等方面,确保问题能够帮助用户进一步深入理解。</think>### 单调队列应用场景与示例 #### 1. **滑动窗口最大值/最小值** 单调队列最典型的应用是**动态维护滑动窗口内的极值**。例如,给定数组和窗口大小 $k$,要求实时输出窗口滑动时的最大值或最小值。 **示例算法**: ```python def max_sliding_window(nums, k): from collections import deque q = deque() # 存储下标,维护单调递减队列 result = [] for i, num in enumerate(nums): # 移除超出窗口范围的元素 while q and q[0] < i - k + 1: q.popleft() # 维护单调递减性 while q and nums[q[-1]] <= num: q.pop() q.append(i) # 窗口形成后记录最大值 if i >= k - 1: result.append(nums[q[0]]) return result ``` **原理**:通过单调队列在 $O(n)$ 时间复杂度内完成,每次窗口移动时剔除旧元素并保持队列头部为当前最大值[^4]。 --- #### 2. **子数组最小值之和** 题目要求计算所有连续子数组的最小值之和(如引用[1]的问题)。虽然通常用**单调栈**解决,但**单调队列**可优化特定条件下的动态范围操作。 **场景示例**: 若子数组长度被限制为 $\leq k$,则可用单调队列快速筛选最小值的有效范围。 --- #### 3. **动态规划优化** 在动态规划问题中,若状态转移方程涉及某区间内的极值,可用单调队列减少时间复杂度。 **示例**: 给定数组 `nums` 和整数 $k$,求长度不超过 $k$ 的子数组的最大和(如引用[3]的变体)。单调队列可维护候选子数组的起始下标,确保快速找到最优解[^4]。 --- #### 4. **带限制的最短路径** 在图论或序列问题中,若路径需满足某些窗口限制(如步长不超过 $k$),可用单调队列记录候选节点。例如,跳跃游戏变体中,维护可达位置的最小步数。 --- ### 与其他数据结构的对比 | **场景** | **单调队列** | **单调栈** | |-----------------------|-------------------------------------|-------------------------------| | 滑动窗口极值 | ✅ 动态维护,两端操作 | ❌ 无法处理动态窗口 | | 下一个更大元素 | ❌ 需顺序遍历 | ✅ 静态区间,单端操作 | | 区间极值统计 | ✅ 结合双指针或动态规划 | ✅ 静态问题(如柱状图最大矩形) | ---
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