Shortest path in complement graph

本文探讨了在给定图的补图中寻找最短路径的算法问题。通过对原始图进行巧妙变换,避免了显式构造补图的过程,提出了一种改进的BFS算法实现方案。

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问题描述

      Shortest path in complement graph.:Given a graph G, design an algorithm to find the shortest path (number of edges) between s and every other vertex in the complement graph G'. The  complement graph contains the same vertices as G but includes an edge v-w if and only if the edge v-w is not in G. Can you do any better than explicitly computing the complement graph G' and running BFS in G'?

问题分析

  这是一个 比较有意思的问题,它不是一个简单的BFS应用。里面还有一些稍微的变换。

  首先一个,对于一个图的complement graph来说,它是针对每个节点取所有原来和它不相邻的节点建立直接连接。比如说对如下的图来说:

  它对应的complement graph如下:

 

 

  所以这种转换就是针对每个节点将它原来的邻接边换成以前没有邻接的节点。不过,问题里要求计算这个complement graph的最短路径。所以一种办法就是我们根据一个图,先计算它的complement graph。然后再用BFS的方式来计算它的最短路径。这里假定图里的所有边都是一样的,没有特定的权值差别。 可是以这种办法计算的效率如何呢?对于每个节点,我们要对它的边重新计算一遍,所以每个节点的边构造时间就有V,所以光遍历这所有的V个节点它的总体时间复杂度就为V * V了。这里就超出了前面的期望结果。

  所以,这里需要做一个调整。我们可以继续利用BFS的方法,不过这里需要做一点调整。每次我们碰到一个节点的时候,要取它的非当前邻接节点作为后续的候选遍历节点,然后将这个节点加入到队列里。按照这个思路,我们可以得到如下的代码实现:

 

public class ComplementGraph {
	
	private boolean[] marked;
	private int[] distTo;
	private Set<Integer> set;
	public ComplementGraph(Graph g) {
		marked = new boolean[g.vertices()];
		distTo = new int[g.vertices()];
		for(int i = 0; i < g.vertices() i++) {
			distTo[i] = Integer.MAX_VALUE;
		}
	}

	public bfs(Graph g, int s) {
		Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
		marked[s] = true;
		distTo[s] = 0;
		queue.add(s);
		while(!queue.isEmpty()) {
			int e = queue.remove();
			List<Integer> list = makeComplement(set, g.adj(e));
			for(int i : list) {
				if(!marked[i]) {
					marked[i] = true;
					distTo[i] = distTo[e] + 1;
					queue.add(i);
				}
			}
		}
	}

	private List<Integer> makeComplement(Set<Integer> set, List<Integer> adj) {
		// make a complement list which is in set but not in adj
	}

}

  这里就是稍微增加了一个方法在每次遍历一个节点的时候先计算它的complement vertices。这样问题就解决了。 

 

 

参考材料

http://stackoverflow.com/questions/24476027/shortest-path-in-a-complement-graph-algorithm

 http://algs4.cs.princeton.edu/41graph/BreadthFirstPaths.java.html

### 算法面试题及其答案 #### 1. 数组与字符串操作 - **问题**: 给定一个整数数组 `nums` 和一个目标值 `target`,请你在该数组中找出和为目标值的两个整数,并返回他们的数组下标。 ```python def two_sum(nums, target): num_to_index = {} for i, num in enumerate(nums): complement = target - num if complement in num_to_index: return [num_to_index[complement], i] num_to_index[num] = i return [] ``` 这是一个经典的两数之和问题,可以通过哈希表来优化查找过程,从而降低时间复杂度至 O(n)[^5]。 - **问题**: 判断给定的两个字符串是否互为变位词。 ```python from collections import Counter def is_anagram(s: str, t: str) -> bool: return Counter(s) == Counter(t) ``` 使用计数器比较字符频率是一种高效的方法[^3]。 #### 2. 树与图遍历 - **问题**: 实现二叉树的前序遍历。 ```python class TreeNode: def __init__(self, val=0, left=None, right=None): self.val = val self.left = left self.right = right def preorder_traversal(root): result = [] def dfs(node): if not node: return result.append(node.val) dfs(node.left) dfs(node.right) dfs(root) return result ``` 前序遍历遵循根节点->左子树->右子树的原则[^3]。 - **问题**: 找到无向图中的最短路径。 ```python from collections import deque def bfs_shortest_path(graph, start, goal): visited = set() queue = deque([[start]]) while queue: path = queue.popleft() vertex = path[-1] if vertex == goal: return path elif vertex not in visited: for neighbor in graph[vertex]: new_path = list(path) new_path.append(neighbor) queue.append(new_path) visited.add(vertex) return None ``` 广度优先搜索 (BFS) 是解决此类问题的标准方法之一[^1]。 #### 3. 动态规划 - **问题**: 背包问题——给定重量容量 W 的背包和 n 种物品,每种物品有固定重量 w[i] 和价值 v[i],求能放入的最大总价值。 ```python def knapsack(W, wt, val, n): dp = [[0]*(W+1) for _ in range(n+1)] for i in range(1, n+1): for j in range(1, W+1): if wt[i-1] <= j: dp[i][j] = max(val[i-1]+dp[i-1][j-wt[i-1]], dp[i-1][j]) else: dp[i][j] = dp[i-1][j] return dp[n][W] ``` 动态规划通过构建状态转移方程解决了这一难题[^2]。 - **问题**: 斐波那契数列第 N 项计算。 ```python def fibonacci(n): if n <= 1: return n prev, curr = 0, 1 for _ in range(2, n+1): prev, curr = curr, prev + curr return curr ``` 此实现利用迭代避免了递归带来的额外开销[^4]。 --- ###
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