勾股定理竟然有500种证明方法，你会几种？

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本文介绍了勾股定理的历史和发展，从商高到毕达哥拉斯，再到欧几里德和赵爽等人的证明。通过不同的几何、代数和无穷级数方法，展示了勾股定理的多样证明，如欧几里德的面积法、赵爽的‘勾股圆方图’、爱因斯坦的创新证明等。这些证明方法不仅揭示了勾股定理的数学之美，也为后续的学习和研究提供了宝贵资源。

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01

介绍

一个直角三角形，短的直角边叫勾，长的直角边叫股，斜边叫弦。勾的平方加股的平方等于弦的平方，所以称之为勾股定理。

02

商高提出

根据《周髀算经》记载，公元前1000年，商高(西周初数学家)与周公(名旦，姬昌第四子，儒学先驱)的对话中，首次提出了勾股定理。
《周髀算经》原文记载：

若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。

03

毕达哥拉斯提出

公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯，提出了勾股定理，但证明方法已失传。所以西方多称这个定理为毕达哥拉斯定理。

04

欧几里德证明

公元前4世纪，古希腊数学家欧几里德，在《几何原本》中明确证明了勾股定理。
说明：同底等高的长方形面积是三角形面积的2倍，如下同色块的面积是相等的。

05

赵爽证明

三国时期吴国数学家赵爽，在《周髀算经》的注释中记载“勾股各自乘，并之为玄实，开方除之即弦”。并通过“勾股圆方图”证明了勾股定理。
说明：大正方形的面积等于4个直角三角形加上一个小正方形面积之和。

06

爱因斯坦证明

爱因斯坦在11岁时获得了一本几何书，有一天叔叔给他讲勾股定理时，他觉得证明太复杂，于是就自己想了一种方法来证明。
说明：三个直角三角形相似，那么该三角形的面积与以斜边构成的正方形面积之比固定。

07

加菲尔德证明

加菲尔德在1880年当选美国第20任总统，他在五年前证明了勾股定理，因此也称这个证明方法为“总统证法”。
说明：梯形面积等于3个直角三角形的面积之和。

08

小K证明

通过相似三角形，边长之比相等，证明了勾股定理。

09

图形拼接证明

一切尽在不言中，别说话，看图。

10

辅助圆证明

以点B为圆心，BA为半径作圆，延长BC交圆于点E,D，则三角形DCA相似ACE。

11

切割定理证明

直角三角形ABC，以点B为圆心BC为半径作圆，交AB及AB延长线于D,E，则BE=BC=BD=a。

12

面积合成证明

一切尽在不言中，别说话，看图。

13

行列式证明

二阶行列式公式： 。

说明：二阶行列式等于以两个向量 为边张成的四边形的面积。

推广：n阶行列式就等于以n个向量为边在n维空间中张成的n维体的体积。(以后我会专门写一篇n维空间的文章)

14

无穷级数证明

根据极限定理，有 。

根据如下图先得到 。

然后通过如下图的无限划分，得到 。

再通过如下图得到 。

最后通过如下运算证明勾股定理。

15

鞋带公式证明

Shoelace公式，也叫高斯面积公式，用于求多边形面积。因为计算的时候交叉相乘像系鞋带一样，所以叫鞋带公式。

由N个顶点围成的多边形，顶点分别为

，则面积为：


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<think>我们被要求证明勾股定理。勾股定理指出：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。即，如果直角三角形的两条直角边长度为a和b，斜边长度为c，则满足 $a^2 + b^2 = c^2$。 我们将通过几种不同的证明方法来展示，这些方法在历史上和数学教育中都是经典的。 方法一：欧几里得证明（几何法） 欧几里得在《几何原本》中给出了一个经典的证明。该证明基于几何图形的面积关系。 构造一个边长为a+b的正方形，并在其内部作四个全等的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c），使它们围成一个边长为c的小正方形。 大正方形的面积可以表示为：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。 同时，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积：$4 \times \frac{1}{2}ab + c^2 = 2ab + c^2$。 因此有：$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$。 两边同时减去2ab，得到：$a^2 + b^2 = c^2$。 方法二：赵爽弦图（中国古法） 中国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理。弦图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a、b，斜边为c）围成一个边长为c的大正方形，中间形成一个边长为b-a（假设b>a）的小正方形。 大正方形的面积可以表示为：$c^2$。 同时，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积：$4 \times \frac{1}{2}ab + (b-a)^2 = 2ab + (b^2 - 2ab + a^2) = a^2 + b^2$。 因此：$c^2 = a^2 + b^2$。 方法三：相似三角形法（利用比例关系） 通过直角三角形斜边上的高，将原三角形分成两个小直角三角形，这两个小直角三角形都与原三角形相似。 设原三角形ABC，直角为C，斜边AB上的高为CD（D在AB上）。 则△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC。 由相似比例：$\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$，即 $AC^2 = AD \cdot AB$。 同理：$\frac{BD}{BC} = \frac{BC}{AB}$，即 $BC^2 = BD \cdot AB$。 两式相加：$AC^2 + BC^2 = (AD+BD) \cdot AB = AB^2$，即 $a^2 + b^2 = c^2$。 方法四：代数法（利用恒等式） 利用代数恒等式：$(a-b)^2 + 4 \times \frac{1}{2}ab = a^2 - 2ab + b^2 + 2ab = a^2 + b^2$。 同时，这个恒等式对应的几何图形可以构造如下：四个全等的直角三角形（直角边a、b）可以拼成一个边长为c的大正方形，但中间留有一个边长为|a-b|的正方形空洞。因此，整个大正方形的面积等于四个三角形面积加上中间小正方形面积，即：$c^2 = (a-b)^2 + 4 \times \frac{1}{2}ab = a^2 - 2ab + b^2 + 2ab = a^2 + b^2$。 方法五：毕达哥拉斯证明（面积法） 毕达哥拉斯学派给出了一种证明：作两个边长为a+b的正方形，按照不同的方式划分，通过面积相等来证明。 在第一个正方形中，划分成四个直角三角形（直角边a、b）和一个边长为c的正方形。 在第二个正方形中，划分成两个边长为a和b的正方形（以及两个矩形，但矩形可以拆开成两个直角三角形）。 通过比较两个正方形面积相等，减去四个直角三角形的面积，得到剩余部分面积相等，即：第一个正方形中剩余一个边长为c的正方形，第二个正方形中剩余两个边长分别为a和b的正方形，因此有：$c^2 = a^2 + b^2$。 以上是几种经典的证明方法。实际上，勾股定理的证明方法有数百种之多，这里仅列举其中几种。 §§相关问题§§: 1. 勾股定理的逆定理如何证明？ 2. 勾股定理在非欧几何中是否成立？ 3. 勾股定理在实际生活中有哪些应用？</think>### 勾股定理的证明方法 勾股定理（$a^2 + b^2 = c^2$）的证明方法超过400种，以下是5种经典证明： #### 1. 欧几里得几何证明（面积法） 构造正方形$ABED$，以直角边$a$、$b$为边长，斜边$c$为对角线。 在$△ABC$中作高$CF$，将大正方形分割为两个矩形$ACFG$和$BCFJ$。 通过面积关系： $$S_{ABED} = S_{ACFG} + S_{BCFJ}$$ $$c^2 = a^2 + b^2$$ 核心依据：全等三角形的面积等价性。 #### 2. 赵爽弦图法（中国古代） 四个全等直角三角形（直角边$a,b$，斜边$c$）围成边长为$c$的大正方形，中间形成边长为$b-a$的小正方形。 面积恒等式： $$4 \times \frac{1}{2}ab + (b-a)^2 = c^2$$ 化简得： $$2ab + b^2 - 2ab + a^2 = c^2 \quad \Rightarrow \quad a^2 + b^2 = c^2$$ #### 3. 相似三角形法 过直角顶点作斜边高$CD$，将$△ABC$分为两个相似小三角形。 比例关系： $$\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB} \quad \Rightarrow \quad b^2 = AD \cdot c$$ $$\frac{DB}{BC} = \frac{BC}{AB} \quad \Rightarrow \quad a^2 = DB \cdot c$$ 两式相加： $$a^2 + b^2 = c(AD + DB) = c^2$$ #### 4. 代数拼图法（加菲尔德证法） 两个全等直角三角形（直角边$a,b$）拼成梯形，斜边$c$构成大三角形。 梯形面积公式： $$\frac{1}{2}(a+b)(a+b) = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2$$ 化简： $$\frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2) = ab + \frac{1}{2}c^2 \quad \Rightarrow \quad a^2 + b^2 = c^2$$ #### 5. 动态几何法（Geogebra可视化） 使用软件动态调整三角形边长，实时验证： ```python # Python示例（需安装Geogebra API） from geogebra import * gb = GeoGebra() triangle = gb.create_polygon([(0,0), (3,0), (0,4)]) # 直角边3,4 c = gb.distance(triangle[0], triangle[2]) # 斜边计算 gb.display_formula(f"$3^2 + 4^2 = {c**2:.1f}$") # 显示25.0 ``` **验证工具**： - [Geogebra在线验证](https://www.geogebra.org/geometry) - [Desmos交互模型](https://www.desmos.com/calculator/qlpfzpoqjf) ---
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