协同过滤之Slope One算法

纯笔记，直接从维基百科上翻译过来的：http://en.wikipedia.org/wiki/Slope_One

slope-one算法是基于评分的item-based算法中最简单的一种了，它的思想非常简单，但在很多场合却有很好的效果。但是slope one只适用于有评分的情况，对于二值评分，如商品的有无购买，这种算法是不适用的。

通常的item-based算法是基于用户的评分历史及其他用户对item的评分来预测用户对item的评分的。举个例子，如果一个用户给重塑的专辑评了5分，那么他会不会对PK14同样也评5分呢？

处理这种问题时，我们通常是根据用户的历史评分记录，使用线性回归 f(x) = ax + b来拟合。因此，如果item的数量为1000，那么可能导致有1000000种回归方式，2000000个回归变量。这种方法会造成严重的过度拟合（因为回归是基于用户自身的），除非我们选择那些许多用户有共同评分的item来进行计算（即协同过滤）。

另外一种方法是，我们把回归直线简化成 f(x) = x + b。这样就只剩一个回归变量了(slope one)。

slope one算法解释：

假设有A,B两位用户，他们对item I,J的评分如下：

用户A对I和J均有评分，用户B只对I有评分，现在需要预测用户B对J的评分。

使用slope-one算法，结果很简单：用户A对I和J的评分差为：1.5 - 1 = 0.5，因此用户B对J的评分 = 2 + 0.5 = 2.5

再看另一个例子：

Customer	Item 1	Item 2	Item 3
A	5	3	2
B	3	4	？
C	？	2	5

在这个例子中，用户A和B对item1，2的评分平均差为： (2 + (-1)) / 2 = 0.5，也就是说，item 1平均获得比item 2高0.5的评分。类似地，item 3和item 1的评分差为3。因此，假如我们根据C对item 2的评分历史来预测他对item 1的评分，结果为2 + 0.5 = 2.5。如果我们用她对item 3的评分来预测item 1，则结果为5＋３＝８。

在这种情况下，用户对多个item都有评分历史，我们只需要简单地根据对同一个item共同评分的用户数做一个加权平均即可。这里总共有2位用户同时对item1和item2做过评分，有一位用户同时对item2和item3做过评分，因此C对item 1的评分为：

(2 * 2.5 + 1 * 8) / (2 + 1) = 4.33

给定n个item，slope one在实现上只需要计算和存储item间的平均分差以及共同评分的用户数，总共有n*n对item。

算法复杂度：

若有n个item，m个用户，以及N个评分，则每两个item之间的平均分差，需要n*(n-1)/2的单位存储，以及最多m*n*n次计算。若用户最多对y个item有评分，则计算平均分差的时间复杂度为 n*n + m*y*y。若一个用户有x个评分，则预测一次评分需要x次计算，预测用户的所有评分需要(n-x)*x次计算。

一种精简空间的方法是划分数据（个人理解是，将评分数据根据item进行存储）或使用稀疏存储，即忽略没有共同评分的数据。