素数的求解

素数的定义

定义：在一个大于0的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。

问题 1、判断一个数是否为素数

问题 2、求解[1,n]之间的素数

问题 3、求解 N 个素数。

问题 4、求解不小于n的最小素数

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问题 1、判断一个数是否为素数

思路<1> 试除法

思路<2> 试除法 +　抛去偶数

思路<3> 试除法 + 抛去偶数 + 缩小试除范围

思路<4> 对素数试除法 + 减少扫描区间

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思路(1) 试除法

基本思路：判断n是否为素数时，检查区间[2,n - 1]之间的数是否能整除n。

代码：

bool IsPrime(int nNum)
{
	for (int i = 2;i < nNum;i++)
	{
		if (nNum % i == 0)
		{
			return false;
		}
	}
	return true;
}

思路(2) 试除法 + 抛去偶数

具体思路：素数肯定是奇数，因为偶数肯定能被2整除，所以在检查区间[2,n - 1]之间的数时，只判断奇数是否能整除n即可。

代码：

///试除法 + 刨除偶数
bool IsPrime(int nNum)
{
	if (nNum == 2)//2是素数，直接返回
	{
		return true;
	}
	if ((nNum & 1) == 0)//刨除偶数
	{
		return false;
	}
	for (int i = 3;i < nNum;i += 2)
	{
		if (nNum % i == 0)
		{
			return false;
		}
	}
	return true;
}

注意：

(1)如果直接写for循环，那么上述代码就会错误的判断偶数为素数，因此需要把偶数单独处理，直接判断其是否为偶数。

(2)在单独处理偶数时，这里使用位操作进行做的，效率比取余操作高。

思路(3) 试除法 + 抛去偶数 + 缩小试除范围

具体思路：思路 1和思路 2的试除范围都在[2,n - 1]，其实范围可以限制在[2,sqrt[n]]，因为如果一个数不是素数，那么它肯定有至少有俩因子，而且因子也是成对出现的，而且一个因子是大于sqrt[n]的,一个因子是小于sqrt[n]的。

举例，100，可以分解为2 * 50、4 * 25、5 * 20、10 * 10

所以，对于每一对因子，我们只需要检查其小于sqrt[n]的因子即可，如果能整除，肯定也能被另一个因子整除。这样就能直接判断其是否能分解成成对的俩因子。

代码：

///试除法 + 刨除偶数 + 减少扫描区间
bool IsPrime(int nNum)
{
	if (nNum == 2)
	{
		return true;
	}
	if ((nNum & 1) == 0)//刨除偶数
	{
		return false;
	}
	for (int i = 3;i * i <= nNum;i += 2)
	{
		if (nNum % i == 0)
		{
			return false;
		}
	}
	return true;
}

思路(4) 对素数试除法 + 减少扫描区间

分析：

（1）合数（不是素数就是合数）是由若干个质数相乘而得来的,比如，合数6是有素数2和3相乘得到。15是由素数3和5相乘得到。

（2）前几个思路使用试除法时，也对合数进行了取余，所以造成浪费。比如判断103是否为素数时，如果采用