【洛谷2439】【NOIP2014】飞扬的小鸟

最新推荐文章于 2021-07-01 20:23:49 发布

原创最新推荐文章于 2021-07-01 20:23:49 发布 · 393 阅读

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#动态规划

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本文介绍了一款简化版FlappyBird游戏背后的DP算法及其优化方案，详细解析了如何利用动态规划解决游戏中的路径选择问题，并通过剪枝技巧降低了算法的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

Flappy Bird 是一款风靡一时的休闲手机游戏。玩家需要不断控制点击手机屏幕的频率来调节小鸟的飞行高度，让小鸟顺利通过画面右方的管道缝隙。如果小鸟一不小心撞到了水管或者掉在地上的话，便宣告失败。

为了简化问题，我们对游戏规则进行了简化和改编：

游戏界面是一个长为n ，高为 m 的二维平面，其中有k 个管道（忽略管道的宽度）。

小鸟始终在游戏界面内移动。小鸟从游戏界面最左边任意整数高度位置出发，到达游戏界面最右边时，游戏完成。

小鸟每个单位时间沿横坐标方向右移的距离为1 ，竖直移动的距离由玩家控制。如果点击屏幕，小鸟就会上升一定高度X ，每个单位时间可以点击多次，效果叠加；
如果不点击屏幕，小鸟就会下降一定高度Y 。小鸟位于横坐标方向不同位置时，上升的高度X 和下降的高度Y 可能互不相同。

小鸟高度等于0 或者小鸟碰到管道时，游戏失败。小鸟高度为 m 时，无法再上升。
现在，请你判断是否可以完成游戏。如果可以，输出最少点击屏幕数；否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。

输入输出格式

输入格式：

输入文件名为 bird.in 。

第1 行有3 个整数n ，m ，k ，分别表示游戏界面的长度，高度和水管的数量，每两个

整数之间用一个空格隔开；

接下来的n 行，每行2 个用一个空格隔开的整数X 和Y ，依次表示在横坐标位置0 ~n- 1

上玩家点击屏幕后，小鸟在下一位置上升的高度X ，以及在这个位置上玩家不点击屏幕时，

小鸟在下一位置下降的高度Y 。

接下来k 行，每行3 个整数P ，L ，H ，每两个整数之间用一个空格隔开。每行表示一

个管道，其中P 表示管道的横坐标，L 表示此管道缝隙的下边沿高度为L ，H 表示管道缝隙

上边沿的高度（输入数据保证P 各不相同，但不保证按照大小顺序给出）。

输出格式：

输出文件名为bird.out 。

共两行。

第一行，包含一个整数，如果可以成功完成游戏，则输出1 ，否则输出0 。

第二行，包含一个整数，如果第一行为1 ，则输出成功完成游戏需要最少点击屏幕数，否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。

输入输出样例

输入样例#1：

10 10 6
3 9
9 9
1 2
1 3
1 2
1 1
2 1
2 1
1 6
2 2
1 2 7
5 1 5
6 3 5
7 5 8
8 7 9
9 1 3

输出样例#1：

1
6

输入样例#2：

10 10 4
1 2
3 1
2 2
1 8
1 8
3 2
2 1
2 1
2 2
1 2
1 0 2
6 7 9
9 1 4
3 8 10

输出样例#2：

0
3

说明

【输入输出样例说明】

如下图所示，蓝色直线表示小鸟的飞行轨迹，红色直线表示管道。

这里写图片描述

【数据范围】

对于30% 的数据：5 ≤ n ≤ 10，5 ≤ m ≤ 10，k = 0 ，保证存在一组最优解使得同一单位时间最多点击屏幕3 次；

对于50% 的数据：5 ≤ n ≤ 2 0 ，5 ≤ m ≤ 10，保证存在一组最优解使得同一单位时间最多点击屏幕3 次；

对于70% 的数据：5 ≤ n ≤ 1000，5 ≤ m ≤ 1 0 0 ；

对于100%的数据：5 ≤ n ≤ 100 0 0 ，5 ≤ m ≤ 1 0 00，0 ≤ k < n ，0

题解

这道题很明显是一道完全背包dp，但需要一定的优化。
我们用f[i][j]表示跳到第i列高度为j时需要点击的最小次数。
h[i]表示第i列柱子的高点，l[i]表示低点；
u[i]表示第i列点击上升高度,d[i]表示不点击下降高度
初始f数组为0x3f3f3f3f
70分思路：
$这里写图片描述$
复杂度O(n*m^2)可见其在m到10^3级别会超时。
100分思路：
为应对在每个j更新f的值会超时的问题，我们发现，f[i-1][j]跳1次和f[i-1][j-u[i]跳2次是等价的，于是我们可以进行dp剪枝（自己想的名字，不知对不对）：当我们发现某个j向上跳k次需要的次数大于已经更新过的最小值时，我们应及时跳出循环，（可以证明，再往上跳的时候一定不会更新已有的最小值）以减少不必要的更新，降低时间复杂度。
平均时间复杂度O（nm）。

My Code

70分代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m,k;
int u[10001],d[10001],h[10001],l[10001],gz[10001];
int f[10002][1002];
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&u[i],&d[i]);
    }
    for(int i=0;i<=n;i++){
        h[i]=m+1;
    }
    memset(l,0,sizeof(l));
    memset(gz,0,sizeof(gz));
    int tmp,th,tl;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        scanf("%d%d%d",&tmp,&tl,&th);
        h[tmp]=th;
        l[tmp]=tl;
        gz[tmp]=1;
    }
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=m;i++){
        f[0][i]=0;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int hh=h[i],ll=l[i],uu=u[i],dd=d[i];

        for(int j=h[i-1]-1;j>=l[i-1]+1;j--){
            if(j-dd<hh&&j-dd>ll){
                f[i][j-dd]=min(f[i][j-dd],f[i-1][j]);
            }
            int tmh=j+uu,cntt=1;
            while(tmh<hh){
                if(tmh>ll){
                    f[i][tmh]=min(f[i][tmh],f[i-1][j]+cntt);
                }
                tmh+=uu;
                cntt++;
            }
            if(hh==m+1){
                f[i][m]=min(f[i][m],f[i-1][j]+cntt);
            }
        }
        bool b=true;
        for(int j=hh-1;j>=ll+1;j--){
            if(f[i][j]<=1e9){
                b=false;
                break;
            }
        }
        if(b){
            int cnt=0;
            for(int j=1;j<i;j++){
                if(gz[j])cnt++;
            }
            printf("0\n%d",cnt);
            return 0;
        }
    }
    int ans=0x3f3f3f3f;
    for(int i=h[n]-1;i>=l[n]+1;i--){
        if(f[n][i]<=ans)ans=f[n][i];
    }
    printf("1\n%d",ans);
    return 0;
}

100分代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m,k;
int u[10001],d[10001],h[10001],l[10001],gz[10001];
int f[10002][1002];
int main() {
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        scanf("%d%d",&u[i],&d[i]);
    }
    for(int i=0; i<=n; i++) {
        h[i]=m+1;
    }
    memset(l,0,sizeof(l));
    memset(gz,0,sizeof(gz));
    int tmp,th,tl;
    for(int i=1; i<=k; i++) {
        scanf("%d%d%d",&tmp,&tl,&th);
        h[tmp]=th;
        l[tmp]=tl;
        gz[tmp]=1;
    }
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    for(int i=1; i<=m; i++) {
        f[0][i]=0;
    }
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        int hh=h[i],ll=l[i],uu=u[i],dd=d[i];

        for(int j=h[i-1]-1; j>=l[i-1]+1; j--) {
            int tmh=j+uu,cntt=1;
            while(tmh<hh) {
                if(tmh>ll) {
                    if(f[i][tmh]<f[i-1][j]+cntt)break;
                    f[i][tmh]=min(f[i][tmh],f[i-1][j]+cntt);
                }
                tmh+=uu;
                cntt++;
            }
            if(hh==m+1&&tmh>=hh) {
                f[i][m]=min(f[i][m],f[i-1][j]+cntt);
            }
            if(j-dd<hh&&j-dd>ll) {
                f[i][j-dd]=min(f[i][j-dd],f[i-1][j]);
            }
        }
        bool b=true;
        for(int j=hh-1; j>=ll+1; j--) {
            if(f[i][j]<=1e9) {
                b=false;
                break;
            }
        }
        if(b) {
            int cnt=0;
            for(int j=1; j<i; j++) {
                if(gz[j])cnt++;
            }
            printf("0\n%d",cnt);
            return 0;
        }
    }
    int ans=0x3f3f3f3f;
    for(int i=h[n]-1; i>=l[n]+1; i--) {
        if(f[n][i]<=ans)ans=f[n][i];
    }
    printf("1\n%d",ans);
    return 0;
}