动态规划专项intermediate：UVa 11600-优快云博客

这篇博客介绍了如何使用动态规划解决UVa 11600问题，该问题涉及计算数学期望。博主首先提到由于概率论知识不足导致理解困难，但通过做其他概率题逐渐明白解题思路。题目实则是‘水题’，由于n值可能达到30，博主使用map进行状态压缩。状态转移方程为：dp[i][st]=(n-1)/(n-s)+sum{cnt[k]*dp[k][st^(1<<k)]/(n-s)}，其中k表示未访问节点，cnt[k]是连通分量包含的原节点数，s是已连节点的原节点总数。需要注意的是，样例输出要求是6位浮点数而非一位。

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一道求数学期望的dp，刚开始因为概率论没学好的缘故，连样例都看不懂……后来因为做了一道概率题，才明白了样例。做出来之后发现其实只是道水题……

先把连通分量都缩成一个点，然后就是简单的状压了。因为n到达30，数组开不下，所以我是用map实现状压的。

状态转移方程：dp[i][st]=(n-1)/(n-s)+sum{cnt[k]*dp[k][st^(1<<k)]/(n-s)}

k表示未访问过的节点，cnt[k]表示节点所代表的连通分量所含的原节点数，s表示当前已连的节点所含的原节点总数。

这题还有个trick，就是样例是错的，不是输出一位小数，而应该是6位浮点数。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <map>
using namespace std;
vector<int> g[35];
int vis[35],cnt[35];
int n,m,e;
map<int,double> d[35];
void dfs(int u)
{
    vis[u]=1;
    cnt[e]++;
    for(int i=0;i<g[u].size();i++)
    {
        int v=g[u][i];
        if(!vis[v]) dfs(v);
    }
}
int bitcount(int x)
{
    int sum=0;
    for(int i=0;i<e;i++) if(x&(1<<i))
        sum+=cnt[i];
    return sum;
}
double dp(int u,int st)
{
    if(d[u].count(st)) return d[u][st];
    double &ans=d[u][st];
    int bc=bitcount(st);
    if(bc==n) return ans=0;
    ans=1.0*(n-1)/(n-bc);
    for(int i=0;i<e;i++)
        if(!((1<<i)&st))
        {
            ans+=dp(i,st^(1<<i))*cnt[i]/(n-bc);
        }
    return ans;
}
int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    int T,kase=1;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n>>m;
        for(int i=1;i<=n;i++) g[i].clear();
        int u,v;
        while(m--)
        {
            cin>>u>>v;
            g[u].push_back(v);
            g[v].push_back(u);
        }
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        memset(cnt,0,sizeof(cnt));
        e=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) if(!vis[i])
        {
            dfs(i);e++;
        }
        for(int i=0;i<e;i++) d[i].clear();
        double ans=dp(0,1);
        printf("Case %d: %.6f\n",kase++,ans);
    }
    return 0;
}