算法分析之-主方法分析递归式

主方法

在算法分析中，我们主要使用代入法，递归树法，和主方法来分析递归式
而主方法为如下形式的递归式提供了一套“菜谱”式解法：

$T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)$

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几个主要形式：

1.

若对某个常数 $\epsilon >0$ 有

$f(n)=o(n^{{\log }_{b}a-\epsilon })$

那么
$T(n)=\theta (n^{lo{g}_{b}a})$

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2.

若
$f(n)=\theta (n^{lo{g}_{b}a})$
则
$T(n)=\theta (n^{lo{g}_{b}a}\lg n)$

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3.

若对某个常数 $\epsilon >0$有
$f(n)=\Omega (n^{{\log }_{b}a+\epsilon })$

且对于某个常数c<1和所有足够大的n有
$af(\frac{n}{b})\le cf(n)$

则
$T(n)=\theta (f(n))$

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将函数$f(n)$与函数$n^{lo{g}_{b}a}$进行比较。直觉上，两个函数较大者决定了递归式的解。

证明：

这个要死记硬背那可太难了，还是证明一下怎么来的比较好

$T(N)=aT(\frac{N}{b})+\theta (N^k)$

$a表示一个问题分解成子问题的数目，N/b表示每个子问题的规模$

$不妨设N=b^m，即大问题是子问题规模的m次幂，且T(1)=1$

$于是原式有：T(b^m)=aT(b^{m-1})+(b^k{)}^m$

$左右同除a^m：\frac{T(b^m)}{a^m}=\frac{T(b^{m-1})}{a^{m-1}}+(\frac{b^k}{a}{)}^m$

$于是我们的到了一个等差数列，初项设m=0，T(1)/1=1$

$求和之后得到：\frac{T(b^m)}{a^m}=\sum _{i=0}^m(\frac{b^k}{a}{)}^i$
$即为：T(N)=a^m\sum _{i=0}^m(\frac{b^k}{a}{)}^i$

$1.当a>b^k即k=lo{g}_{b}a-\epsilon 即f(n)=\theta (N^k)=o(n^{{\log }_{b}a-\epsilon })$
$此时级数的和为一个小于无穷大的常数，于是T(N)=\mathrm{O}(a^m)=\mathrm{O}(a^{lo{g}_{b}N})=\mathrm{O}(N^{lo{g}_{b}a})$

$2.当a=b^k即k=lo{g}_{b}a即f(n)=\theta (N^k)=\theta (N^{{\log }_{b}a})$
$此时级数的和为m，于是T(N)=(m+1)a^m=\mathrm{O}(N^{{\log }_{b}a}lo{g}_{b}N)$

$3.当a<b^k即k=lo{g}_{b}a+\epsilon 即f(n)=\theta (N^k)=\Omega (n^{{\log }_{b}a-\epsilon })$
$此时级数的和为\frac{(b^k/a{)}^m-1}{b^k/a-1}，于是T(N)=a^m\frac{(b^k/a{)}^m-1}{b^k/a-1}=\mathrm{O}(N^k)$

例如：矩阵相乘的Strassen算法：
$T(N)=7T(N/2)+O(N^2)$
$有T(N)=O(N^{lo{g}_{2}7})=O(N^{2.81})$
很方便很炫酷有没有！！！