算法复杂度分析-主方法及递归树

主方法

       主方法是一个算法复杂度分析的一个很好的方法，但是只能用于特定的递归上，适合的递归形式为：

T(n) = a*T(n/b)+f(n)

       其中，a >=1 ; b >1 ; f(n) : 非递归函数，f(n)渐进趋正，渐进趋正的意思是当n足够大是，f(n)为正数，记：对于n>=n0时，f(n)>0，其中n0为足够大正数。

判断n^log b (a)与f(n)的大小关系

(1) 如果n^log b (a) = Θ(f(n))，那么该方法的复杂度为   Θ(f(n)*(log b (n)^(k+1))),其中k>=0

(2) 如果n^log b (a) > Θ(f(n))，那么该方法的复杂度为   Θ(n^(log b (a)))

(3) 如果n^log b (a) < Θ(f(n))，那么该方法复杂度为 Θ(f(n))

下面我们分析下，上面的三种情况是如何得到的

图1

       每一个结点都有a个子递归，整棵树的高度很显然是log b (n), 递归终端的时间肯定是O(1)，故最后一层的时间为 a^h=a^log b (n)=n^log b (a)

我们知道，算法的总时间是图1中所有层的总和，即f(n)+a*f(n/b)+...+a^h，对于第(1)种情况，由于n^log b (a) = Θ(f(n))，所以每一层的时间是相等的，故总时间是f(n)*h=f(n)*log b (n)。对于第(2)种情况，由于n^log b (a) > Θ(f(n)), 所以总时间为n^log b (a)乘上一个常数，所以为Θ(n^(log b (a)))，当然，如果n^log b (a) 只比 Θ(f(n))大一丁点的话，是不行的，从上层到下层，要呈几何递增。对于第(3)种情况，n^log b (a) < Θ(f(n))，从上层到下层，时间成几何递减，故总时间复杂度为Θ(f(n))。

上面的图已经用到了递归树。下面介绍递归树

递归树

递归树规则

<1>每层的结点T(n)中的f(n)在当前n/b下的值。

<2>每个节点的分支数为a。

<3>每层的右侧标出当前层中所有结点的和。

<4>总时间为每层所有结点和的总和。

例如：T(n)=T(n/4)+T(3n/4)+n

每一层的结点和为n，从根到叶结点的最长路径为n  ->  (3/4)*n  ->  (3/4)^2*n  ->  ...  ->  1，故a=log 3/2 (n)

所以时间复杂度为Θ(f(n)*(log 3/2 (n)))

小结：

当f(n)为常数时

当f(n)为c*n，c为常数，时

当f(n)为其他函数时，用递归树进行分析。

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