斐波那契数列相关算法及例题

最新推荐文章于 2025-10-26 16:01:49 发布

原创最新推荐文章于 2025-10-26 16:01:49 发布 · 3.9k 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

本文探讨了如何使用矩阵快速幂算法在O(logn)时间内解决斐波那契数列问题，同时提供了避免溢出的解决方案，并介绍了利用公式在O(1)复杂度下求解斐波那契数列的方法。

1..循环时间复杂度O(n)

int f(int a)
{
	int f0=0,f1=1,f2=1;
	if(a)
	{
		for(int i=1;i<a;i++)
	{
		f2=f0+f1;
		f0=f1;
		f1=f2;
	}
	return f2;
	}
	else return 0;
}

2. 矩阵求解时间复杂度O(logn)

斐波那契的递推公式可以表示成如下矩阵形式，所以其

所以根据矩阵的分治算法，可以在O(logn)时间内算出结果。

笔试问题：

对于斐波拉契经典问题，我们都非常熟悉，通过递推公式F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，我们可以在线性时间内求出第n项F(n)，现在考虑斐波拉契的加强版，我们要求的项数n的范围为int范围内的非负整数，请设计一个高效算法，计算第n项F(n)。第一个斐波拉契数为F(0) = 1。

给定一个非负整数，请返回斐波拉契数列的第n项，为了防止溢出，请将结果Mod 1000000007。

2.矩阵求解时间复杂度O(logn) 重要

斐波那契的递推公式可以表示成如下矩阵形式，所以其

所以根据矩阵的分治算法，可以在O(logn)时间内算出结果。

笔试问题：

给定一个非负整数，请返回斐波拉契数列的第n项，为了防止溢出，请将结果Mod 1000000007。

long[][] f = new long[][]{{0,1},{1,1}};
public int getNthNumber1(int n) {
if(n == 0)
return 1;
if(n == 1)
return 1;
f = pow(n,f);
turn (int) f[1][1];
}
private long[][] pow(int n,long[][] f){
if(n == 1)
return f;
if(n == 2){
return fun(f,f);
}
if( n % 2 == 0){//偶数
f = pow(n/2,f);
return fun(f, f);
}else{
return fun(pow(n/2,f),pow(n/2 + 1,f));
}
}
private long[][] fun(long[][] f,long[][] m){
long[][] temp = new long[2][2];
temp[0][0] = (f[0][0]*m[0][0] + f[0][1]*m[1][0])%1000000007;
temp[0][1] = (f[0][0]*m[0][1] + f[0][1]*m[1][1])%1000000007;
temp[1][0] = (f[1][0]*m[0][0] + f[1][1]*m[1][0])%1000000007;
temp[1][1] = (f[1][0]*m[0][1] + f[1][1]*m[1][1])%1000000007;
return temp;
}

3.公式求解时间复杂度O(1)

利用到数列的公式:an=(1/√5) * [((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n](n=1,2,3.....)

取完对数

例题如下：

点击打开链接

这是一种模板式的方法，对于一个数a，取t=log10（a），b为log10（a）的小数部分，取10^b得到一个大于1小于10的浮点数，此数就是将原数/10直到只剩个位的数

代码1.：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int f(int a)
{
	int f0=0,f1=1,f2=1;
	if(a)
	{
		for(int i=1;i<a;i++)
	{
		f2=f0+f1;
		f0=f1;
		f1=f2;
	}
	return f2;
	}
	else return 0;
}
int main()
{
	int n;double a;
	while(cin>>n)
	{
		if(n<=20)cout<<f(n)<<endl;
		else
		{
			a=-0.5*log10(5.0)+n*log10((1.0+sqrt(5.0))/2.0);
			a-=(int)a;
			a=pow(10,a);
			a*=1000;
			cout<<(int)a<<endl;
		}
	}
	return 0;