求质数的相关高效算法

最新推荐文章于 2023-01-04 23:00:09 发布

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本文介绍了两种高效判断质数的方法：通过判断是否能被小于开根号后的数整除，以及使用筛法。筛法虽然内存消耗较大，但效率最高。提供了C#代码实现。

1. 利用一个定理——如果一个数是合数，那么它的最小质因数肯定小于等于他的平方根。例如：50，最小质因数是2，2<50的开根号
再比如：15，最小质因数是3，3<15的开根号
　　合数是与质数相对应的自然数。一个大于1的自然数如果它不是合数，则它是质数。

　　上面的定理是说，如果一个数能被它的最小质因数整除的话，那它肯定是合数，即不是质数。所以判断一个数是否是质数，只需判断它是否能被小于它开跟后后的所有数整除，这样做的运算就会少了很多，因此效率也高了很多。

对应代码如下

/// <summary>
/// 判断输入的数字是否是质数
/// </summary>
/// <param name="n"></param>
/// <returns></returns>
public static bool IsPrime(int n)
{
bool flag = true;
if (n < 2)
{
throw new ArgumentOutOfRangeException();
}
int max = Convert.ToInt32(Math.Floor(Math.Sqrt(n)));
for (int i = 2; i <= max; i++)
{
if (n % i == 0)
{
flag = false;
break;
}
}
return flag;
}

2.筛法求质数，效率最高，但会比较浪费内存
　　首先建立一个boolean类型的数组，用来存储你要判断某个范围内自然数中的质数，例如，你要输出小于200的质数，你需要建立一个大小为201（建立201个存储位置是为了让数组位置与其大小相同）的boolean数组，初始化为true。
　　其次用第二种方法求的第一个质数（在此是2），然后将是2的倍数的数全置为false（2除外），即2、4、6、8……位置上置为false。然后是3的倍数的全置为false（3除外），一直到14（14是200的开平方），这样的话把不是质数的位置上置为false了，剩下的全是质数了，挑着是true的打印出来就行了。

对应代码是：

/// <summary>
/// 输出从2到n的所有质数
/// </summary>
/// <param name="n"></param>
public static void Prime(int n)
{
bool[] array = new bool[n + 1].Select(x => x = true).ToArray();
array[1] = false;
int count = 0;
int sqrt = Convert.ToInt32(Math.Floor(Math.Sqrt(n)));
for (int i = 2; i <= sqrt; i++)
{
for (int j = i; j * i <= n; j++)
{
array[j * i] = false;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (array[i])
{
Console.Write("{0,3} ", i);
count++;
if (count % 8 == 0)
{
Console.WriteLine();
}
}
}

}

例题如下：

点击打开链接

#include<stdio.h>  
int a[1000010], b[1000001];
int main()
{
	a[0] = 1;
	a[1] = 1;
	int k = 1;
	for (int i = 2; i<1000010; i++)
	{
		if (a[i] == 0)
		{
			b[i] = k++;//定位  
			for (int j = i; j<1000010; j = j + i)
				a[j] = i;//最大素数因子  
		}
	}
	b[1] = 0;
	int n;
	while (~scanf("%d", &n))
	{
		printf("%d\n", b[a[n]]);
	}

}