数据结构与算法-二叉树

二叉树的定义

二叉树或为空树；或是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不交的二叉树组成。

满二叉树

指的是深度为k且含有2^k - 1个结点的二叉树。

完全二叉树

树中所含的 n 个结点和满二叉树中编号为 1 至 n 的结点一一对应。

二叉树的性质

1. 在二叉树的第 i 层上至多有x^i-1 个结点。(i≥1)
2. 深度为 k 的二叉树上至多含 2^k-1 个结点（k≥1）
3. 对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶子结点、n2 个度为 2 的结点，则必存在关系式：n0 = n2+1
4. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度为⌊log2n⌋+1 （假设根结点的层次为1）
5. 若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点：
   (1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲，否则，编号为⌊i/2⌋ 的结点为其双亲结点。
   (2)若 2i>n，则该结点无左孩子, 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点。若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点，否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

二叉树的存储结构

顺序存储结构

顺序存储是用一组连续的存储单元存放数据，顺序存储要求数据是线性结构。二叉树是非线性结构，如何把二叉树转换为线性结构，而且保持结点之间的父/子关系?
满二叉树：从上到下，从左往右依次编号

一般的二叉树：想象成一个完全二叉树

链式存储结构

二叉链表

三叉链表

二叉树的遍历

• 定义：顺着某一条搜索路径巡访二叉树中的结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。
• 作用： 遍历的目的是线性化，使二叉树中的结点能够按照某种次序排列在一个线性队列上，便于处理。

线性结构的遍历，因为每个结点均只有一个后继，所以只有一条搜索路径。二叉树是非线性结构，每个结点有两个后继，则存在如何遍历即按什么样的搜索路径进行遍历的问题。二叉树存在下述三条搜索路径：

1. 先上后下的按层次遍历；
2. 先左（子树）后右（子树）的遍历；
3. 先右（子树）后左（子树）的遍历。

遍历方法参考：https://blog.youkuaiyun.com/ifwinds/article/details/83661676 树的遍历一节

森林和二叉树的关系

• 树与二叉树的对应关系：给定一棵树，通过树的二叉链表表示法可以找到唯一的一棵二叉树与之对应。树的二叉链表的右子树一定是空的。
• 森林与二叉树的对应关系：将森林中的第二棵树看成第一棵树的兄弟即可。

森林转换成二叉树

• 转换规则
  若 F = Φ，则 B = Φ，否则，
  由 ROOT( T1 ) 对应得到Node(root);
  由 (t11, t12, …, t1m ) 对应得到 LBT;
  由 (T2, T3,…, Tn ) 对应得到 RBT。
  

森林转换成二叉树示例

1. 先将森林中的所有树转换成二叉树
   

2. 以第一棵二叉树的根为树根，将森林中所有的二叉树转换成一棵二叉树
   

二叉树转换成森林

• 转换规则
  若 B = Φ, 则 F = Φ，否则，
  由 Node(root) 对应得到 ROOT( T1 );
  由LBT 对应得到 ( t11, t12, …，t1m);
  由RBT 对应得到 (T2, T3, …, Tn)。
• 转换步骤
  1）抹线：将二叉树中根结点与其右孩子连线，及沿右分支搜索到的所有右孩子间连线全部抹掉，使之变成孤立的二叉树
  2）还原：将孤立的二叉树还原成树

二叉树转换成森林示例

1. 断开二叉树中右分支中搜索到的所有右孩子间的连线
   

2. 将得到的二叉树全部还原成树
   
   由树、森林和二叉树的相互转换可知，树和森林的各种操作均可与二叉树的各种操作相对应。不过，和树对应的二叉树，其左、右子树的概念已改变为： 左子树是孩子，右子树是兄弟。

树、森林和二叉树遍历的关系

树	森林	二叉树
先根遍历	先序遍历	先序遍历
后根遍历	中序遍历	中序遍历

树的遍历

• 树的先根遍历：A B E F C D G，因此，树的先根遍历结果与其对应二叉树标示的先序遍历结果相同
• 树的后根遍历：E F B C G D A，因此，树的后根遍历结果与其对应二叉树标示的中序遍历结果相同
  

森林的遍历

• 森林的先序遍历：
  若森林不空，则，
  1）访问森林中第一棵树的根结点;
  2）先序遍历森林中第一棵树的子树森林;
  3）先序遍历森林中(除第一棵树之外)其余树构成的森林。
  即：依次从左至右对森林中的每一棵树进行先根遍历。
  下图，森林的先序遍历结果为 A B C D E F G H I K J，因此，森林的先序遍历结果与其对应二叉树标示的先序遍历结果相同

• 森林的中序遍历
  森林不空，则
  1）中序遍历森林中第一棵树的子树森林;
  2）访问森林中第一棵树的根结点;
  3）中序遍历森林中(除第一棵树之外)其余树构成的森林。
  即：依次从左至右对森林中的每一棵树进行后根遍历。
  下图，森林的中序遍历结果为 B C E D A G F K I J H，因此，森林的中序遍历结果与其对应二叉树标示的中序遍历结果相同